Perfluoropolymeerit, ja niiden terveys- sekä ympäristöhaitta

Katselin juuri pari dokumenttia PFOA:n, eli perfluoro-oktaanihapon ympäristövaikutuksista.

Kyseinen kemikaali on ollut käytössä -45-vuodesta asti Teflonin (DuPontin tuotemerkki, NASA:n avaruusohjelmassaan löytämänä) valmistuksessa. Kun Teflonia—nimellisesti polytetrafluorieteeni (PTFE)—on kaikkialla, niin näyttää olevan PFOA:takin, sen synteesin esituotteena, sekä joissain tapauksissa PTFE:n korkealämpöreaktioista myös.

Teflon, eli PTFE?

Teflon on samasta syystä hankala yhdiste tuottaa, kuin se on niin vakaa, sekä likaa, öljyä, vettä, sekä kemikaalisia haasteita hylkivä. Ideaalisesti se koostuu huomattavan pitkistä suorista hiilirangoista, joissa ei ole mitään muita sivuryhmiä hiiliketjun sivulle kuin yksi fluoriatomi per sitoutumispaikka, kyllästyneessä hiiliyhdisteessä. Se ei haaraudu, siinä ei ole mitään reaktiivisempia sivuryhmiä, kyllästyneenä mitään hiilten kaksoissidosta välistä ei voida katkaista, ja sitten kun fluori reaktiivisimpana halogeenina muodostaa vahvimman mahdollisen sidoksen, tuollaista polymeeria on hyvin hankala elektrokemiallisestikaan rikkoa. Mikään entsyymi tai edes huomattavan kammottavat hapettavat hapot, kuten kuningasvesi, eivät oikein tahdo purra täysin muodostettuun, pitkään PTFE-molekyyliin.

Lisäksi PTFE muodostaa muovia, jossa nuo pitkät suorat epäreaktiiviset molekyylit sotkeutuvat toisiinsa, mekaanisesti. Niillä on kitkaa keskenään, ja siksi merkittävä venytys- ja painolujuus. Tämä ei ole siis vain kemiallinen vaan myös fysikaalinen juttu, ja se mitä myös halutaan: Teflon pysyy kasassa myös, muovina, ja ottaa stressiä. Se on inertin kemiallisen rakenteensa lisäksi myös varsin kelvollinen rakennusaine. Plus hei, sillä on jopa sähköisesti toivottavia ominaisuuksia, eristeenä. Dielektrinen vakio yli usempien muiden, ja taas sen voimakkaan fluori-hiili-vuorovaikutuksen takia lähes eniten käytännön sähkökenttiä, eritoten korkeajännitetekniikassa, kestävä rakenne.

Mistä PTFE tulee? Prekursorit…

Vaikka polytetrafluorieteeni on nimeltään mikä on—monta-tetrafluorieteeniä-jonoon polymeraation kautta—sitä ei pysty tuottamaan noin nimetyistä monomeereista järin tehokkaasti. Varsinkaan tetrafluoroetaanista kyllästyneenä pienenä monomeerina ei pysty: se on aivan liian resistentti millekään reaktiolle jo. Eli tarvitaan se eteeni, jossa kahden tetrafluoratun eteenimolekyylin keskeisten hiilimolekyylien välillä on kaksoissidos.

Kun tuollainen sidos on, se haluaisi mennä pois energeettisesti, ja tekee pienestä molekyylistä siis helpommin manipuloitavan, kokonaisvaltaisestikin. Yhtäkkiä on saatavilla reaktioita, jotka muuntavat tuon sidoksen yksinkertaiseksi, samalla kun lähellä molekyylin päätä siirtävät vapautuvan energian arvattavaksi ketjutukseksi seuraavaan vastaavaan (tai erilaiseenkin!) molekyyliin, niin että jotain menee välistä pois (eliminaatioreaktio) ja syntyy ns. naiiveja polymeereja. Pitkiä täysin lineaarisia ketjuja jotka toistavat samaa.

Teflon perusmolekyyliteoriassaan on tällainen lineaarinen molekyyli, eikä voi olla täysin fluorattuna mitään muutakaan: loputtoman pitkä sarja lineaarisia hiili-hiili-sidoksia, joiden ympäriltä kaikki sidospaikat on täysin fluorattu. Siis fluorianalogi lineaaririsista hiilivedyistä, eli (kyllästyneinä) alkaaneista. Hiilivetyanalogi niissä pitkissä muoviketjuissa, olisi polyeteeni—joka myös on vastaava idealisaatio, eli harvoin täydellinen.

Ongelma vain nyt on se, että jotta pystyt tuottamaan näitä polymerisaatioreaktiota, yleensä väliin tarvitaan jokin katalyytti, ja yleensä itse reaktiossakin jotain jää siitä reaktiosta jälkeen, muovin sisälle. Yleensä se molekyylirakenne johon tähtää polymeerissa ei tulekaan helpoimmin siitä reagentista joka näyttäisi ilmeisimmältä, eli ehkäpä aivan toista, reaktiivisempaa reagenttia jääkin jälkelle tuoteeseen. Joskus voidaan päästä lähelle sitä että kaikki lähtöaineet kuluvat vähitellen reaktiossa, tai haihtuvat, tai parhaimmillaan osittain tuottavat jonkin hyödyllisen osan syntyvää kuiturakennetta. Mutta useimmiten jotain ekaa, tokaa, tai kolmatta, kymmenettä, jääkin jäljelle. Ehkäpä jopa syntyy uudelleen käytössä, kuten loppukäyttäjän kuumentaessa pannuaan.

Tapaus PFOA, jonka bioakkumulaatio

Käy ilmi, että kaikki tuo ikävä tapahtui Teflonin kanssa, ja tapahtuu ehkä jopa koko ajan. Ensinkin, jotta saatiin tehokkaasti tehtyä sitä mikä teknisesti kait on vain pitkä inertti fluorohiiliketju, piti välissä käyttää hieman reaktiivisempia PFOA-, ja PFOS-molekyylejä. Noh, koska ne on reaktiivisia, mutta samalla semi-pitkäikäisiä missä vain biologisessa ketjussa. Ovat vieläpä varsin hyviä surfaktatteja, eli niitä käytettiin kaikkeen. Ja jäivät niin teolliseen jätteeseen PTFE:n valmistuksesta, rasvaliukoisina keräytyivät apex predatoreihin kuten ihmiseen, ja sitten kun kuitenkin ovat vasta reaktiivisia molekyyleja toisesta päästään jotta ne on helppo polymeroida kuitenkin, vaikka toinen pää ei suostu hajoamaan millään, no onkos se suurikaan ylläri että sitten polymeroituvat ikäviin paikkoihin elimistössä vähitellen.

Eli siis hitaasti akkumuloituvat ekologisesti, ja jossain vaiheessa myös reagoivat haitallisesti biomin kanssa. Kuten on nähty että tekevätkin. Ei vain ihmisissä, vaan lähes kaikessa biomissa.

Tapaus linnnut-low-weight-fluoro-hydrocarbons, and the lot

Ehkä pahin esimerkki siitä miten fluorohiilivedyt voivat toimia, on se, että ne ovat linnuille jostain syystä yli tuhat kertaa pahempia kuin ihmisille, jopa akuutisti. Tutkimuskirjallisuudessa on jo monta esimerkkiä siitä, kuinka vaikkapa domestikoidut papukaijat kuolevat yhteen altistukseen levyllejätetystä teflon-pannusta.

Ei ole mitattu mitä kaikkea sieltä pannulta täsmälleen tulee, ovatko ne yhdisteet pannun valmistuksen osa joka vasta pakenee, ovatko ne osa liian lämmön polymeerista vapauttamia osia, vai onko kenties jopa niin, että ruoanlaitossa käytetyt kemikaalit tuottavat yllättäviä reaktioita pannun teflonpinnan kanssa, vapauttaen odottamattomia fluoripitoisia moieetteja. Se kuitenkin tiedetään jo, että jotain sillä fluoratulla pinnalla ja lämmöllä on tekemistä asian kanssa, moneen sigmaan asti hypoteesintestauksessa.

Ekologinen reservuaarianalyysi "ikikemikaaleissa"

Koska tää nyt menee näin, minä kyllä haluaisin nähdä noista—usein fluoratuista, joskus klooratuista tai jopa bromatuista— yhdisteistä vähän muutakin analyysia kuin vain sitä kuinka kertyviä tai vastahankaisia metabolialle ne ihmisissä tai läheisissä lajeissa ovat. Siksi, että ne näyttävät kiertävän ekosfäärissä muutenkin aika riippumatta siitä mitä meidän elimistö tekee. Niillä voi olla muitakin reservejä, joihin jäävät kuin vain meidän tai sian tai vehnän elimistö, ja niissä reserveissä voi myös tapahtua metaboliaa, josta emme vielä tiedä.

Niinpä haluaisin nähdä hieman otantaa täysin random-paikoista, yli tunnetun biosfäärin, siitä että missä nämä varsin säilytävät yhdisteet menevät, ovat, ja keräytyvät.

Tätähän voitaisiin tehdä aika pistenäytteillä, ja voisi antaa paljon tietoa. Jopa sitten päin vain siitä miten biosfäärin koplinkigit menevät: siinä siirtyvä hitaasti hajoava keinotekoinen yhdiste, voi myös toimia voimakkaana tilastollisena pitkäaikaissignaalina, yli food-pyramidin. Esittelyissään ekosysteemiin vasta vähän aika sitten, ja eri aikoina, kaikki for-ever-yhdisteet, voisivat toimia tilastollisina probeina/vertailukohtina/luonnollisina-kokeina/kalibrointi-tasoina, hyvin moneen suuntaan keskenään.

Klassisen retoriikan kolmijaosta

Jo lukiotunneilla usein mainitaan retoriikan jako eetokseen, paatokseen sekä logokseen. Mutta mitä ne oikeastaan tarkoittavat nykykielellä?

Minusta eetos on sitä että kehtaat ottaa häpeilemättä paitas pois julkisessa väittelyssä, ilman että se saa sua kyräilemään, häpeilemään, tai olemaan mitään muuta kuin toista silmään tuijottava oma itsesi. Se on itsevarmuutta mielipiteestäsi ja identiteetistäsi, joka näkyy ja kuuluu. Sitä että mä oon tässä, ja mitäs sä aiot tehdä sille, häh.

Eetoksen negaatio on silloin epävarmuutta, arkuutta, tietopohjan hataruutta, epäsuoruutta, ja kaikkea sitä mikä saa toisen epäilemään ettet ole, osaa, tajua, tai sinulla ei ole väliä. Sitä kautta väitteelläsikään.

Paatos on vaikutustaitoa toiseen sekä yleisöön. Sitä että osaat ajaa mielipiteilläsi ja puheellasi toisen ajattelua sekä tunnetiloja; pitää häntä keskustelussa äänenvärissäsi, eleissäsi, näkyvässä tunteessa-vannoumuksessasi, orjanasi. Kuten Kalevala sanoo, "osaat laulaa toisen suohon", kaikkien vierestäkatsojien halukkaasti nauraen päälle. Tämä on se näkymätön keppi tai nyrkki keskustelussa, siinä missä pienemmät miehet pitävät nuo "keskustelussa" avoimesti näkyvillä. (Unohtamatta että kuuntelutaitokin on osa vaikuttamista; yleisö on sympaattisempi reilulle keskustelijalle kuin paukuttajalle.)

Paatoksen negaatio on änkyttäminen, kiertely, kyvyttömyys tajuta missä vastaväittäjä/yleisö on menossa, huumorintajuttomuus—mikäänhän ei niin tehokaasti saa yleisöä puolellesi kuin se että teet vastaväittäjäsi hyväntahtoisesti naurunalaiseksi— kielellinen saamattomuus, ja sen sellainen. Myös submissio toiselle keskustelu, sen sijaan että ajetaan itse tietoisesti dialogin kulkua.

Logos sitten on se itse aihe josta puhutaan, ja päättelysi pitävyys. Se kuinka pakottava argumenttisi on…niille harvoille joita logiikka pakottaa. Tämä on helpoin määritellä, mutta vaikein tehdä oikein. Siksi kenties arvostetuin nykyisellä tieteellis–teknologisella aikakaudellamme. (Tässä kuuntelutaito on hyödyllistä siksi, että kun toisen jättää pälpättämään, hän usein loogisesti hirttää itsensä omaan köyteensä. Tai jollei, näytät kahden muun aspektin puolesta sitäkin paremmalta jos kykenet seuraamaan ja edistämään toisen oikeaa ajatusta.)

Logoksen negaatio on irrationaalinen hölynpölynpuhuja. Pahimmillaan skitsofreenikko, jonka ajatus lentää mistä mihin vain, ja on loogisesti epäkoherenttia. Doublespeak. Se on sitä että käsitteitä käytetään ristiriitaisesti, keskustelulla ei ole selvää kulkuaan, "ollaan vain jotain mieltä" perustelematta miksi tai mitä mielipiteestä/aksioomasta seuraa, ja ylipäänsä käyttäydytään kuin tuulitunneliblondi tahi turha julkkis. Tekemättä koskaan kunnon argumenttia tai olematta tietoisesti, johdonmukaisesti, jotakin mieltä.

Tuo klassinen jaottelu on siis minusta varsin käypä. Kukin noista kolmesta puolesta tukee toistaan, ja ne ovat selvästi erotettavissa. Voisi ehkä tiivistää niin, että kyse on uskottavuudesta, kommunikaatiokyvystä ja tietopohjasta, kolmiyhteytenä. Yksikään ei selviä ilman toista, ja niiden tulisi olla tasapainossa, jotta puheen vaikuttavuus—so. retorinen kyky—maksimoituisi rajalla.

(P.S. kävin juuri baarissa paidatta, kiltissä, alkkareitta totta kai. Matkalla sinne yksi poika nuorisolaumasta vahingossa näki vehkeeni hameen alta, ja kommentoi sitä kuin isoinkin mies. Minä siihen leveässä hymyssä että "mutta sähän sitä katoit". Tuo on eetosta: mä oon tässä, missä sä oot. Se on myös paatosta, koska kaverit nauroivat jampalle sen jälkeen, eivätkä minulle. Myöhemmin päädyin kitsaaseen baariseuraan, jossa yks tyyppi epäili että olen homo. Joista hän ei tietenkään järin pitänyt. Hänet väittelin kullekin-omansa-eettiseen-suohon alle 10 minuutissa—paatoksen ja eetoksen puolelta käyttäeni röyhkeästi hyväksi äärihyvännäköisen nuoremman avovaimoni kuvaa. "Ei mulla oo ongelmia homojen kanssa, ja tunnenkin monia, ja olen kokeillutkin miehiä, mutta päädyin sitten heteroksi. Arvaas vaan miks." Tuo on röyhkeää tunnevaikuttamista, mutta se mahdollisti samalla sen ajatuksen välittämisen, että kullekin omansa—siis loogisen, aatteellisen pointtini läpimenon. Tämä on mielestäni retoriikkaa, vaikka oraattoria minusta tuskin koskaan tulee.)

Miten äänestää Oikein

Perin monet varsinkin nyt totuudenjälkeisellä ajalla, ja keskustalaiset aiemminkin, äänestävät täysin omien tuntojensa mukaan. Näin ei pitäisi tehdä.

Politiikka on olemassa tarkoituksesta. Sillä on tarkoitus hoitaa yhteisiä asioita; poliksen asioita, erona yksityisestä elinpiiristä. Tietyt asiat siis kuuluvat polikselle, luonnostaan, ja toisaalta useimmat yksityiselle kotitaloudelle, seiniensä sisällä.

Kuten vaikkapa näin Pride-kuukautena tulee muistuttaa, se ihmiskuntaa jatkava seksuaalisuus, aviosänkyineen. Siihen menoon ei ole julkispuolen puuttuminen, ilmeisistä yksilöllisistä tunne- sekä politiikanhistoriallisista syistä.

Eli kun äänestät, yritä äänestää jostakin järkevästä yhteiskuntateoriasta lähtien. Älä diipa-daapasta, vaan ajatellen, miten voisit parantaa juuri niitä asioita äänelläsi jotka ovat yhteiskunnallisesti merkittäviä.

Ehdottomasti älä yritä parantaa itseäsi, koska tuo kuuluu yksityiseen elinpiiriin. Ehdottomasti älä yritä parantaa välillisestikään itseäsi, moraalisignaloimalla, eli siis yrittäen näyttää paremmalta seurassasi "oikeilla mielipiteillä". Älä alistu tuollaisille helpoille kiusauksille, vaan mieti yli niiden mikä aidosti parantaisi yhteiskuntaa. Kuka olisi se ehdokkaasi joka on eniten parempi kuin sinä olet, ja puolueettomin, tehokkain, poliittinen toimittaja.

Minä olen ehdokkaani valinnut, pienpuolueestani vaihteeksi taas. Tuskin menee läpi, koska vaalijärjestelmämme on niin kuraa. Mutta minä silti jokikisen kerran kun reilussa neljässäkymmenessä ikävuodessani olen saanut äänestää, olen äänestänyt parhaalla mahdollisella harkinnalla yhteiseen hyvinvointiin. Yli omani. Koska hyvä politiikka vaatii äänestäjäkuntaa joka siinä hiljaisessa äänestyskopissa miettii vähän muutakin kuin itseään. Miettii yhteisöä, ja yhteishyvinvointia. (Jotkut sanovat että kansanyhteyttä, minä että internationalismia, mutta tuokin ero on täysin toisarvoista.)

Mikä aatteesi onkaan, muista että yhteiset ja yksityiset asiat ovat erillisiä. Vaalikopissa äänestetään yhteisistä ja vain yhteisistä asioista. Ei sun pet-peevestä. Yhteiskunta ei oo sun perhe, jossa asiat päätetään sattumanvaraisesti kuten lakoavat, vaan isompi kokonaisuus, jossa pitää ottaa kaikki muutkin hullut huomioon. Se on juttu jossa päätetään enimmäkseen asioista aggregaattitasolla, kannustimissa, hyvin epämääräisesti, ja niin että mihinkään järin yksittäiseen mielipiteeseen ei siis saisi ottaa kantaa.

Jos kuulostan liian libertaarilta, sitä olenkin. Rehevä minarkisti pitkältä ajalta. Mutta sanonpa vain että tämä periaate ulottuu myös suoraan kommunismiin. Marxismiinkin (joskaan ei marxismi-leninismiin). Valistusaatehan sekin on ollut, samalta ajalta. Järkiperäinen, vaikka minusta harhaanjohdettu. Kuten enkkuepistemiologiassa sanotaan: "valid, but not sound".

Siinä kopissa tämä punnitaan lopulta. Toivottavasti järkevästi sitten niin. Valistuneesti, ja ampuen tarpeen mukaan itseäänkin jalkaan, yhteisön hyväksi.

Psyko-fyysis-sosiaalinen kokonaisuus

Eräässä keskustelussa kaverini kanssa tuli mieleen tämä klassinen hoitotieteellinen käsite ihmisestä psyko-fyysis-sosiaalisena kokonaisuutena. Se on käsite, jolla on kivan holistisia konnotaatioita, ja kaikki pitävät siitä siksi. Mutta mitä se oikeasti tarkoittaa? Ajattelin, että voisin omista päihde- ja mielenterveysongelmistani antaa pari esimerkkiä miten tuota tulee soveltaa oikein.

Psykologisestihan olen lapsesta asti ollut eristäytyvä ja ahdistusaltis. Se on minun persoonani. Tuo johtaa siihen että olen kotihiiri, ja eristäydyn.

Opiskeluaikoinani tuo johti siihen etten saanut kaveripiiriä uudessa kaupungissani. Jäin yksin. Tuloksena varsin nopeasti syrjäydyin, sitten masennuin, ja lopulta aloin juoda masennukseeni. Minusta tuli nopeasti vakava alkoholisti, mitä olen nykypäivänäkin. Tuo tapahtui siis osittain psykologisista ja osittain sosiaalisista syistä.

Eipä siinä sitten monta vuotta mennyt, että kroppakin alkoi reagoida juomiseen. Kun se meni jo kolmeen punkkupulloon päivässä, oli tietenkin vain ajan kysymys ennen kuin ekaa kertaa ripulipaskannettiin sänky mustaksi. Alettiin puhua fyysiksestä yhtäkkiä myös.

Sosiaalisesti, onnekkaasti, kävi sitten juuri silloin niin, että viinan hinta aleni voimakkaasti. Niinpä halpuutin juomistapani kolmesta pullosta punkkua yhteen lekaan viinaa illassa. Enää ei paskannettu sänkyyn, eikä krapulakaan ollut niiin kova.

Alkoholiriippuvuuteni kuitenkin jälkikäteen katsoen eteni kerralla, ja kunnolla. Juuri tuossa vaiheessa sosiaalis-poliittinen muutos syöksi minut lopulta siihen kovimpaan viinakurimukseen, jossa olen viettänyt nyt puolet elämästäni. Se leka päivässä jälkikäteen katsoen oli leikin loppu; nyt oltiin aikuistenoikeita ammattilaisia.

Sillekin tasolle, jota ei heti tajuttu. Nimittäin jopa päivä tullessani Nokia-töistäni takaisin, tismalleen kello neljä iltapäivällä mulle tuli ihan hirvee kaatokohtaus. Silloin laskin sen hypoglysemian piikkiin; nyt tiedän että se oli luultavasti alkoholivieroituksesta seurannut alkava delirium tremens. Juoppohulluus.

Tuo ei ilmeisesti häirinnyt töitäni. Mutta jälleen jälkikäteen arvellen häiritsi aika paljon sittenkin. Koska se sotki unirytmiäni ja lähimuistiani. Nyt yhtäkkiä jopa minun fyysistäni häirittiin, mielenterveys- ja päihdepuolellta. Ja sitä sosiaalist osaamistani: ahdistuksen ja masennuksen tasot olivat sellaisia, etten pystynyt enää olemaan osa normaalia työyhteisöä. Pakenin yhteisöä yötyöhön.

Ja tietysti sitten kun teet vain yö- tai etätyötä, et tapaa ketään, olet yksin, ja masennut. Jolloin tekee mieli juoda lisää.

Tämä on se psyko-fyysis-sosiaalinen kokonaisuus, josta puhutaan. Psyyke, fyysis, ja sosiaalinen syöttävät ristiin rastiin toisiaan, eivätkä lopulta ole erotettavissa. Minä kuvaan tätä sairauteni ja sen negatiivisten kierteiden kautta. Mutta terveyskin menee positiivisten kierteidensä kautta samalla tavalla. Tyyliin: sun sosiaalinen lenkkikaveri auttaa pitämään huolta sun mielenterveydestä ja fysikaalisesta terveydestä, eli sitten kun oot kunnossa, sun on kivempi olla sun frendin kanssa lenkillä, ja kappas vaan, se positiivinen kierre jatkuu niin moniin suuntiin yhtäkkiä samaan aikaan.

Eli minusta se psyko-fyysis-sosiaalinen kokonaisuus koostuu toisiaan ristisyöttävistä interaktioista. Niin hyvässä kuin pahassakin. Se on sitä että nuo eri puolet ihmiselämästä voimakkaasti sekä kokonaisvaltaisesti vuorovaikuttavat toisiinsa, ja niiden välillä vaikuttaa ympäri-ämpäri toisiaan takaisinvaikuttavia prosesseja. Ne tekevät noista eri puolista erottamattoman kokonaisuuden, niin että varsinkin hoitotieteessä ja yleisessä hyvinvoinnissa, niitä ei voi täysin jakaa erillisiin osiinsa. Holismi vallitsee.

Uusin fesebannisyyni

Fesekommenttini

Vittu oikeesti reilut parikuukautta, ja sitten se yks hyvä juttu turmellaan sittenkin.

Miks ihmiset pilaa tolleen toistensa elämän, ihan täysin syyttä? Vaikka toinen yrittää parastaan, toinen panee vastaan, joka kolmas vielä sivusta torpedoi.

Miks vitussa mulle ei sallita mun parisuhdetta ja hyvää oloa silleen luontaisesti*? Miks tää homma tuntuu koko ajan siltä että mun pitää sodalla ja väkivallalla ottaa hyvä oloni? Miks mut pakotetaan raiskaajaksi ja murhanhimoiseksi* tuolleen, kaikkien taholta? Miks mut pakotetaan ottamaan kun mä haluisin vaan laiskasti, söpösti, antaa sekä saada?

Oma ajatukseni

Mikähän tässä sitten oikeesti on sellaista yllä, että mulle pitää taas antaa jatkuvasti kasvava, tällä kertaa viikon bannini? Ihnan oikeesti, mitä mä tein väärin? Yllä?

Minähän vain ahdistelin omasta tilastani, ja jopa välillisesti, rivien välissä siitä mitä fese juuri tekee mulle.

Vai siitäkö se kaikki olikin kyse? Vähän alkaa tuntua siltä, kun Twitter on niin paljon helpompi, ja Facebook niin loputtoman vaikea. Toisessa mun avoimet kommentit ei juuri koskaan johda hankaluuteen, ja toisessa taas sitten lähes aina sekä koko ajan. Toisessa pitää yhtäkkiä pelätä puhumistaan, ja toisessa saa puhua. Hankalasti sitten myös niin, että haluaisin puhua pitkästi, mutta se ainoa isompi paikka netissä rajoittaa nyt tarkoituksella tekstin pituutta.

Eiks Twitter vois tuottaa jonkin Twitter-Long-palvelun vaikka, jossa saan puhua kuten Fesessä, muttei ois mitään rajaa tekstin pituudelle?

Kamppailulajeista

Paitsi että minusta kaiken sortin urheilu ja peli mukana on vastenmielistä, erityisen paskamaista on sotkea siihen vielä fyysinen väkivaltakin. Kuten kamppailulajeissa.

Minusta, jos aiot äijänä tappaa, kiduttaa ja satuttaa jotakuta toista, tee se sitten oikein ja tehokkaasti. Älä menee ns. "kamppailulajeihin" eräänlaisina formalisoituina tansseinaan tai performansseinaan, vaan opettele mieluummin aitoa sotilastaitoa. Krav Magaa, Systemaa, tai vaikka sitä suomalaista lähimyyttistä kaspinia; niitä lajeja joissa viedään ensin silmät ja pallit, tehokkaimmin, jollei päästä lyömään lapiolla, kirveellä tai vasaralla jo aiemmin päähän. Joka tapauksessa mahdollisimman nopeasti viedään toiselta henki, niin ettei asialliset asiat veny turhaan.

Tai sitten ei alunperinkään lähdetä. Mikä aina toki ois parempi. Rauha yli sodan, totta kai.

Mustta oli miten oli, minusta väkivallasta ei saisi tehdeä leikkiä. Se on aina vaarallista vaikka sitä vain näyteltäisiinkin. Aikidossakin voi murtua monen paikat, kaikkien tuntemasti vähiten vaarallisena klassisena itämaisena taistelulajina. Voi näyttää hyvältä leffassa, ja vähän kuin tanssilta, mutta vaaratonta sekään ei ole.

Eli jos lähdet, lähde hyvästä syystä, ja sitten lähde kunnolla. Se on minusta joko-tai-homma. Jos et lähde, niin et ollenkaan, ja jos lähdet, tarkotus ois tappaa toinen nopeasti toinen (tahi mahdollisesti maksimaalisesti kiduttaa). Välimaastoa ei ole. Täysi sotilastaito sodan lähitaistelussa, tai ei lähitaistelua lainkaan, rauhassa.

And by the way, mä olen aina lapsesta saakka ollut sitä mieltä, että paras tapa voittaa tappelu on joko keskustelu, tai sitten se että tarkk'ammutaan tahi myrkytetään toinen sekä sen perhe, koskaan itse joutumatta etäisyydelle. Vain ensimmäinen ajatus on ns. "reilu". Kummatkin kuitenkin ainutlaatuisen "tehokkaita" tapoja ratkaista yhteinen ongelma. "Puhu tai kuole, there is no middle ground."

Rakkaasta relaatiotietokannastani

Kun puhumme relaatiotietokantateoriasta, esittely yleensä lähtee "update anomalyista", sitten riippuvuuslogiikasta, ja noiden kautta normaalimuotojen teoriasta, aina viidenteen normaalimuotoon (kanonisesti PJ/NF, project join normal form, vaikka niitä oikeastaan on kolme erilaista).

Mutta mitä tää oikeesti on? Hyvää kombinatoriikkaa, alhaalta ylöspäin toki, mutta mikä se top-down -lintuperspektiivi olisi? Se joka meitä kaikkia kunnon harjoittajia vähän vaivaa, kun se ei oikein hahmotu.

Väittäisin intuitiostani, että se oikea tapa hahmottaa ongelma väkisinkin on kategoriateoreettinen, ja liittyy jotenkin relaatioalgebralle olennaisten operaattorien perusluonteeseen. Tarkemmin, tällä on selvästikin jotain tekemistä sen kanssa kuinka paljon me keskitymme nimenomaan liitokseen (join) operaattorina, ja normaalimuotoihin tapoina hajottaa tietokannan taulut pienemmiksi, niin että ne edelleen saadaan jossain mielessä minimaalisesti takaisin kasaan käyttämällä tuota liitosoperaattoria niiden välillä.

Eli pelin henki pohjimmiltaan on tietyn produktiivisen operaattorin minimaalinen dekompositio, modulo jotain, riippuvuusteoriasta. Se tiedetään jo, ettei tuo liitosoperaattorin kohdalla voi olla yksikäsitteinen, eli että edes simppelein funktionaalisen riippuvuuden teoria ei yleisesti ottaen salli konfluenttia uudelleenkirjoitusjärjestelmää; se ei salli yksiselitteistä normaalimuotoa, joka määräisi "yhden ainoan oikean" tietokannan rakenteen. "There can be only many, but also only so many." Ja näin on vielä jopa siinä klassisessa raamissa, joka johtaa kolmanteen normaalimuotoon, vain yhden tietokantataulun dekompositiossa, sen yhden tärkeäksi oletetun liitosoperaattorin alla. Tuo ei esim. pysty edes koskettamaan 3,3-normaalimuotoon, tietokantojen yleisesti ja tarpeellisesti toteuttamaan inkluusioriippuvuuteen taulujen välillä, eikä varsinkaan mihinkään millä on tekemistä sen toisen pääoperaattorin eli unionin kanssa.

Minun ajatukseni sitten on, että tätä käsittelyä pitäisi laajentaa huomattavasti jotta siihen tulisi mitään kokonaisjärkeä. Oikea raami minusta olisi löytää se täsmällinen kategoria jossa nuo taulut ja niille relevantit operaattorit (lähinnä union, join) elävät, ja kysyä millaiset dekompositiot siinä kategoriassa ovat admissiibeleitä. Koska tuo "abstrakti hölynpöly" tuntuu tässä hyvin luonnolliselta kieleltä puhua ongelmasta. Varsinkin koska tässä mennään voimallisesti äärellisessä joukko-opissa, niin että mahdollisten kategorioiden joukon luulisi olevan suhteellisen helppo löytää. "To pin the fucker down."

Mehän meinaan jo kysymyksenasettelusta suoraan nähdään, että kyse on jostain monoidaalisesta, äärelllisestä Setin alakategoriasta. Vielä tosi strukturoidusta sellaisesta, viitaten toiselta puolelta vaikka tableaux-kalkyyliin. Ja toi antaa meille yhtälörakenteessaan jopa tosi tarkat reunaehdot sekä vinkit siitä, mikä se meidän modulo on: loogiset monimuuttuja-equalityt, reduktiivisena puolena. Tuo puoli klassisesta teoriastahan on jokseenkin täydellinen jo.

Mutta se ei silti oikein vielä ole riittävää, kaunista ja lopullista. Se ei pysty puuttumaan monien taulujen väliseen riippuvuusongelmaan, se ei selitä miksi taulut pitää nimetä sen sijaan että voitaisiin mennä simppelillä universaalirelaatioteorialla, se ei yhtene bayesilaisen moniriippuvuusteorian kanssa, se ei selitä miksi meillä on null-arvoja, eikä se varsinkaan ota huomioon union-operaattorin syvällistä epämääräisyyttä dekompositiossa.

Siksi olen aika varma, että systemaattinen kategoriateoreettinen ekspositio relaatiotietokantateoriasta olisi paitsi tarpeellinen, myös hyödyllinen. Yhtenäistämään kaiken sen sekalaisen tauhkan johon yllä jo viittasin, jonka tunnen, ja joka ei toistaiseksi tee mullekaan ihan riittävästi järkeä. Siitä vois esim. lähteä ehkä, että join/liitos näyttää epäilyttävästi pullbackilta, samalla kun yhdiste/union pushoutilta. Myös tyypitettyjen lambdakalkyylien hierarkiaa/hilaa voisi ehkä käyttää hyväksi, jotta "epäilty saataisiin vihdoin kiinni".

Seksi

Yksi sun toinen nykyään väittää, että yhteiskunta on yliseksualisoitunut. Että seksistä puhutaan liikaa. Minusta moinen on pötypuhetta. Jos mitään, seksistä puhutaan aivan liian vähän.

Meinaan mitä muuta ylipäänsä mukamas on? Lähtien noin kehdosta, me pullahdettiin sinne pilteiksi pillusta, eli siis seksistä. Kun me mennään hautaan, me mennään sinne siksi että yksilö, eli elimistönsä, eli sen solut, eli niiden viimekädessä kantamat geenit, eivät pysty loputtomiin uusintamaan itseää virheittä/syövättä ilman uudelleenkäynnistystä. Eli siis sitä syntymää, siis lisääntymistä, eli siis seksiä.

Kun opimme puhumaan ja sitä kautta pääsemme sisään kulttuuriin, me teemme niin siksi että olemme sosiaalinen ja tiedollinen eläinlaji. Molempia olemme siksi että ekologisesti se on meidän paikkamme ja etumme. Sosiaalisuus tekee meistä vahvempia yhdessä, ja kulttuuri—osanaan talous, tiede, teknologia, kieli, sen sellaiset pikkujutut—näppärämpiä. Lisääntymään. Sekstaamaan.

Kun opiskelet, sinä opiskelet pohjimmiltaan siksi että pystyisit korottamaan suhteellista sosiaalista statustasi. Voidaksesi saada enemmän ja parempaa seksiä laadukkaampien kumppanien kanssa, ja sitä kautta jatkaa geenejäsi. Kun luot taidetta, pohjimmiltaan kukkoilet, saadaksesi enemmän ja parempaa seksiä laadukkaampien geenien kanssa—mistä bändärit, ja se että paras musiikki aina tulee testosteronisimmalta kolmekymppiseltä mieheltä, samalla kun paras (kosio)tanssi parikymppiseltä twerkkaajalta.

Kun sinun "pitää maksaa laskusi", ajattelet turhan proksimaalisesti. Todellisuudessa koko "pitämisen" käsite, eli siis moraali ja etiikka, lähtee pohjimmiltaan siitä mitä meikäläisen eläinlajin on hyödyllistä yhteisössään tehdä, jotta elää ja kukoistaan kilpailussa, päästäkseen pukille..

Kun lähdet sotaan, pohjimmiltaan sinua ajaa se perimäsi joka osoittautui evoluutiossa hyväksi, tuottaessaan osittaista eksogamiaa ja aggression suomaa turvaa vahvemman geeneille. Sotaan lähtevät miehet, ryöstääkseen vaimon, siittääkseen sen, ja pitääkseen geneettisen palkintonsa. Rauhaan me lähdemme kasvattaaksemme kohtumme hedelmän. Rakkauteen voidaksemme sitoutua siihen etelän hetelmään, ja vihaan puolustaaksemme sen, tai siis geeniemme, intressiä. Mustasukkaisuusmurhaan päädymme, koska toisen geeni tuli mun geenin tontille, eli piti poistaa siltä kätevimpään tapaan. (Väki)vallankäyttö on aina seksuaalista, ja päin vastoin, vaikka ei puhuttaisi vielä edes raiskauksesta.

Uskontosi ja jumalasi on olemassa paikkaamaan näppärän, himokkaan tiedollisuutesi aukkoja, ja luodakseen yhteisöjä, joissa irtoaa revaa. Kaikkihan me tiedämme mistä rippikoulussa ja sen käynnin suomassa naimaluvassa oikeasti on kyse. Katolilaisesta nunnapornosta nyt puhumattakaan, tai siitä mistä rippiriitti enimmäkseen ottaa voimansa. "Anteeksi Isä, tavalla tai toisella lankesin jälleen lihaani." Mistä Perisynti, tietenkin.

Toki mikään ele aivan niin yksinkertaista. Kun me olemme elämänkilpailussa niin laatuun eikä määrään panostava laji, olemme myös psykologisesti plastisia ja sitä kautta kykeneviä muuhunkin kulttuuriseen ilmaisuun kuin syömiseen, paskantamiseen ja panoon. Ja kun tuo komplikaatio tuodaan mukaan välittävänä tekijänä, me onnistumme tekemään kaikenlaista kummallista joka ei suoraan näytä liittyvän lisääntymiseen. Minun kaikista ihmisistä pitäisi varsinkin tietää tuo, kun päihteilen, otan halukkaasti selkääni sängyssä, ja kaikenlaista muuta minkä luulisi olevan täysin vastakkaista lisääntymisedulleni.

Mutta silti, lopulta kaikki tuokin kommervenkki palautuu jotakin kautta siihen että pimpan perässä ollaan. (Tai kyrvän; nainen on seksuaalinen olento myös.) Jopa se että ollaan ylipäänsä miehiä, naisia, ja kaikkea siltä väliltä. Kaikki tuo on johdettavissa lisääntymisedusta; satumme olemaan seksuaalisesti lisääntyvä laji, mistä seksin käsite ja vastakkainasetttelut, koska> tuokin kuvio pohjimmiltaan palautuu siihen kuinka edullista taudin- ja tuholaisensiedolle geenien seksuaalinen rekombinaatio on, varsinkin laatutietoisille ja hitaastikasvaville elukoille. Koko sukupuolen ja siis seksuaalisen kanssakäymisen ajatus johtuu siis suoraan lisääntymisestä, vaikkakin hieman alhaisemmalla tasolla ajateltuna. Siitä "seksistä", kuten seksuaalidimorfinen apinalaji lisääntymisensä/geeninenjatkonsa luonnostaan näkee.

Tuota ajatusmallia vasten ei kertakaikkisesti ole mahdollista yliseksualisoida mitään. Koska niin kauan kun olet ihminen etkä bakteeri tai kivi, mitään muuta kuin seksi ei lopulta ole. Väärin sen voi ymmärtää, vaikkapa niin että sille antaa välinearvon jota sille ei lopullisena päämääränä kuuluisi, mutta muuten…se on Tie, Totuus ja kirjaimellinen Elämä.

Hypoteettinen feministi yleisössä

Käytin juuri eräässä yhteydessä lastensaantia ja siihen liittyvää klassista pähkinää esimerkkinä seriaalisesta prosessista, joka voi auttaa selittämään laskentatehon kvalitatiivista muutosta seriaalisesta kohti paralleelia viime vuosikymmenen tai parin aikana. Sitten tajusin että jos luennoisin noin yleisölle, nykyään joku saattaisi kyseenalaistaa sen kuinka käytän esimerkissä hyväkseni sukupuolikäsitteitä. Eli tuli mieleen, että ehkäpä minulla pitäisi olla valmiina vastaus yleisön herännäisfeministille

Esimerkki tietenkin on se, että vaikka nainen yleensä pykää kerran siitetyn lapsen maailmaan n. yhdeksässä kuukaudessa, siitä ei seuraa että yhdeksän naista saisi tuotettua lapsen kuukaudessa. Siitä seuraa vain että yhdeksässä kuukaudessa yhdeksän naista pystyvät pullauttamaan maailmaan yhdeksän lasta.

Tuo on täydellinen analogia siitä mitä tapahtuu kun tietyssä algoritmissa lopputulos on jakamaton (lapsi, ei vain sen osia) ja algoritmi sisältää seriaalisia riippuvuuksia jotka estävät rinnakkaistamisen (ensin neuraaliputki, sitten polarisoivia kemiallisia gradientteja, ja sitten solujen paikallinen erikoistuminen pääksi ja varpaiksi gradientin päissä). Kun ainoa tunnettu lapsialgoritmi on tuolla tavalla lineaarinen, eikä sellainen että jostain tulee silmät ja varpaat ja muut jotka liityvät maagisesti yhteen toimivaksi kokonaisuudeksi, työ ei ole rinnakkaistettavissa yhdeksälle naiselle; läpimenoaikaa inseminaatiosta parturitioon ei voida juurikaan parantaa. Jos lapsia jostain syystä halutaan paljon, ongelma rinnakkaistuu vain sillä tasolla että yhdeksän naista on samaan aikaan raskaana, sen saman yhdeksän kuukautta. Tuo mallintaa erinomaisesti sitä mikä ero CPU:lla ja GPU:lla tietojenkäsittelyssä on, ja ennen kaikkea sitä kuinka jotkin ongelmat eivät nyt vain rinnakkaistamalla nopeudu siitä mitä ne seriaalisesti olisivat; voit ravita ehkä juuri ja juuri raskaana olevan naisen ja helliä häntä niin täysin että hän kykenee uuteen raskauteen heti edellisen loputtua, mutta se seriaalinen lapsialgoritmin toteutusnopeus kasvaa aivan maksimissaan yhteen lapseen yhdeksässä kuukaudessa, ja silloinkin venytät hyvin konkreettisesti fyysisiä ja emotionaalisia rajoja. Samalla kun lapsityötä tietysti voi tehdä vaikka minkälainen naisten armeija rinnakkain, ja siis lapsia tulla paljonkin jos pakko jostain ihmeen syystä ois.

Minä epäilen, että kun esittäisin tämän esimerkin, joku nykyään pillastuisi. Naisoletuksista ja vastaavista. Sukupuolittavasta kielestä, ja epäherkkyydestä vaikkapa. Mutta minusta tuo menee ohi itse aiheen, jopa feministisesti katsottuna.

Minähän kuitenkin tässä käytän hyvin rajattua sukupuolen ja lisääntymisen stereotyyppistä määritelmää. Varsin alhaisen tason sellaista, enkä siis läheskään ainoaa. Ja vain siksi, että biologisesti katsoen tuo on ainakin tällä hetkellä ainoa toteutuva tai mahdollinen juttu: biologia määrittelee sukupuolen sukusolujen ja/tai kantamisen/lisääntymisinvestoinnin tasolla, eikä ylipäänsä ole kiinnostunut mistään muusta kuin tuosta alhaisesta tasostaan. Sitten juuri siksi kun se on niin reduktiivista, siitä löytyy esimerkkejä joilla on selvä matemaattinen rakenne, ja jotka voivat käydä vertauksista pohjimmiltaan matemaattiselle alalle, kuten tietojenkäsittelytieteeseen.

Siksi vastaukseni feministioppilaalleni olisi, että käyttämäni esimerkki on tarkoituksellisen rajattu ja siksi hyvin epätäydellinen. Ilmiöt joihin se viittaa eivät kata sukupuolta ylemmän tason selityksissä millään tavalla, ja määrittelevät niitä varsinkin ihmisyhteisössä silloin tällöin luvattoman heikosti. Niihin ei pitäisi lukea liikaa, ihan tieteellisistäkään syistä: biologia ei nykyään onneksi yritäkään väittää mitään kokemuksesta, identiteetistä tai rooleista, vaan ne ovat ylempitasoisen tieteen kuten psykologian, semiotiikan tai vaikkapa sosiologian heiniä. Tässä on työnjako, jota tiedollisen nöyryydenkin nimessä joudun noudattamaan.

Ja jos joku kehtaisi hörähtää minun tai oppilaani ajatuksista johonkin persu- tai telaketjuhenkeen, huomauttaisin koko joukolle luentosalissa, että pidän noiden korkeamman tason teorioiden tuntemusta hyödyllisenä myös lumapuolella. Etenkin koska itse olen kokenut saaneeni tuosta tietämyksestä paljon hyötyä, ja koska minunkaan sukupuolikokemukseni ei aina ole ollut aivan niin yksioikoinen. Tukisin feministiä joukossa ajatuksella siitä, että lumanörtin ei tarvitse olla vain sitä enkä minä ole, huomauttaisin että toden totta pelkistävät sukupuoliroolit ylätasolla itse asiassa aiheuttavat ongelmaa joka tiedeyhteisössä minustakin pitäisi korjata, ja samalla ottaisin tilani takaisin myös.

Meinaan juuri tuollaisessa keskustelussa asetetaan kaksi hyvin erilaista epistemologiaa vastakkain, ja aidosti uskon että omani, klassisempi, on parempi. Minun tiedonkuvani paitsi sallii myös vaatii aktiivista, riipivää keskustelua, jotta totuus paljastuisi. Uskoen että totuus on aina kaikille hyödyksi, keskimäärin, ja pitkällä aikavälillä. Se lipeää usein korkeamielisistä ideaaleistaan, totta kai, mutta parhaimmillaan se on jo vuosisadan tai pari tuottanut sitä mitä feministi kutsuu "turvalliseksi tilaksi"—paikkaa jossa ei tarvitse pelätä, ja jossa voidaan tuulettaa epämiellyttäviä juttuja kaikkien hyväksymässä raamissa, seuraamuksitta. Tajuaa toinen eli ei, tuossa tilanteessa mulla on vähän sellainen "valkoisen miehen taakka" että pitää panna käpälä maahan ja puolustaa periaatettaan, kun pitää sitä oikeana; sen ollen valistusliberaali.

Eli mun tehtävä tuossa tilanteessa ei ole myötäillä toista, vaan ottaa se tosissaan, ja kertoa miten mä näen asiat. Tehdä tilan puolesta selväksi, että mun hallitsemassa tilassa ei syrjitä, kiusata tai turhaan edes letkautella, mutta samalla hyväntahtoisen neekerihuumorinkin tulee saada lentää, kaikki pitää saada kyseenalaistaa, ja lähtökohtaisesti vastuu omista tunteista on kullakin aikuisella ihmisellä itsellään. Mun tehtävä tuossa on jopa opettaa tuota vanhempaa tilakäsitystä niille, jotka eivät välttämättä ole niin paljon törmänneet siihen—ja ennen kaikkea näyttää että tuokin tila on tavallaan äärimmäisen turvallinen. Jopa turvallisempi kuin se puhtaasti emotionaalinen, ailahteleva, tuuliviiritila josta nykyään usein puhutaan "safe spacena".

Koska ei klassisen liberaalin käsitys oikeudesta ja sopivuudesta ailahtele järin paljon, vaan se lähenee kiveenhakattua lakiyhteisöä, johon voi luottaakin sitten. Se voi olla vittumainen aktivistille siinä kuinka konservatiivinen ja järkähtämätön se on, mutta samalla, ei se kyllä kysy väkivallassa yhtään sitä mitä kaverisuhteita on ollut tai miten jutut voidaan spinnata jossain sosiaalisessa mediassa. Siitä voi tietää tavallista varmemmin mitä se on, ja kaikki jo tietää ettei mun/meikäläisten raami tuomitse puoliakaan siitä mitä muut yhteiskuntaeettiset raamit jotka on edes lähes yhtä vakaita. Kaikki menee, kunhan suostumus vain. Jos tuollaisen raamin saisi jotenkin opetettua toiselle huutajalle, vähän luulen että sekin rauhottus ja sais aikaan sitten enemmän niiden epäkohtien kanssa joista alunperinkin oli eniten huolissaan.

The quaternionic sandwitch product, redone

In the previous post I just ranted about how quaternions are used for rotational calculus. I don't usually rewrite history, but this time I thought it would be better to just do the whole thing over again. With some understanding and insight for a change.

Why quaternions?

Quaternions are a generalization of complex numbers. William Rowan Hamilton discovered them after a prolonged quest for a three dimensional number system which both contains the reals and the complex numbers in a natural way. It turns out such a generalization can be made in multiple ways, but they all lose some properties of the precursors which we would rather have remain, and they also necessarily assume a form which can be unexpected. The details of a given generalization depend on which properties we're willing to leave behind.

In Hamilton's particular case what had to give were commutativity of multiplication, and the wish that the generalization could carry over to arbirary dimension. His system, the quaternions, remain a real normed division algebra and a true generalization of the complex plane, but it only works out in dimension four, and its multiplicative operator isn't commutative. After that the algebra can indeed encode three dimensional rotations and embed the two and one dimensional ones of the complex circle and the real line. Yet it has to do so in a somewhat more intricate sense.

A real division algebra has to incorporate at least one natural representation of the real line, and then every element of the extended algebra has to commute in multiplication by a real. Since the quaternions are meant to be an extension of the complex numbers as well, there has to be complex plane embedded within them which is commutative within itself, above and beyond the reals within it being commutative with everything even wider at the same time. Via some easy steps, we are led to all of these algebras being normed, so that whatever happens after renorming any vector, somehow is rotational: algebras are vector spaces de minimis, in these kinds of algebras the conjugate product a*a yields natural bilinear (symmetrical quadratic) norm, and so we get a natural definition of a sphere: all those

Rotations in three and four dimensions

When you rotate things in 3D, Euler's theorem tells us every rotation leaves at least one direction completely fixed, and that the rotation can be described as a 2D rotation in the plane perpendicular to that axis, so that in that invariant plane, stuff moves around but doesn't leave the plane. Thus we need three parameters to describe a general rotation: two for a direction and one for an angle around it. It is a nice parametrization because orientation entanglement is contained within the direction, with angle just being cyclic, and behaving exactly like multiplication on the complex unit circle.

The only trouble comes from the identity rotation and those near it, because then then axis of rotation can suddenly be chosen freely, or at least sufficienly close to freely that many mechanistic formulae for calculating the relevant numeric parameters become unstable. However this is a problem only for the inverse problem where you try to figure out the parameters; unlike with many other representations of the rotational algebra, there is no numerical trouble in doing forward calculations with compound rotations from there on. We will see the quaternions inherit his property.

In four dimensions rotations factor a bit differently. Now they always have two invariant planes, which are orthogonal, and two separate plane rotations in them, parametrized by two different cyclic angles. If both of the angles are zero, both of the planes can be chosen freely, and we have the identity rotation. If just one of the angles is zero, we're reduced to a plane rotation, except that the other invariant plane becomes fixed, and so we don't have just a single fixed axis but a whole 2D space of them. Any orthogonal projection along that space one dimension down is a 2D rotation with one fixed point.

In general the angles of rotation will be different. If you look at vectors off the invariant planes, they will rotate an amount intermediate between the extremes delimited by the rotations in the planes.

Finally, there is a special case within the more general 4D rotations where both invariant planes rotate: the case where the angle of rotation is exactly equal in both planes (upto sign). These are called isoclinic rotations, and they lead to a kind of singularity which doesn't have an analogue in 3D: the synchronicity of rotation doesn't affect the general nature of the entirety, but it suddenly means that there is extra symmetry present which makes it possible to choose the invariant planes we use to analyze and parametrize the problem rather freely. These things don't have just "the two" invariant planes: but a broad continuum of them. Because of that, they compose much more nicely than arbitrary 4D rotations: if you have two isoclinic rotations, you can choose to represent them so that their invariant planes jointly align. Then the composition is just the 2D composition of two circular rotations, side by side, and since those are commutative, we just discovered isoclinic 4D rotations commute in general.

Above we talked about equal angles up to sign. More precisely then isoclinic rotations come in two separate varieties: left and right isoclinic ones. In the left variant, the signs of the rotations in the two invariant planes are the same, in the right variant they are opposite. These families are represented in quaternionic algebra by left and right multiplication, respectively. They overlap because the reals have to commute with everything and the complex numbers have to commute within themselves, but otherwise the families are separate. It's also nice to note that within left isoclinic rotations, since the angles over the invariant planes are equal and vectors off the invariant planes rotate by an amount intermediate between the two now equal amounts, every pair of orthogonal planes can equally be chosen as the invariant ones. The same goes for right isoclinic ones.

Rotations using quaternions

Just like the complex numbers on the unit circle rotate the complex plane in multiplication, the unit quaternions rotate the quaternionic space. However there is a complication: each of the unit quaternions represents an isoclinic 4D rotation with two axes. This is not a problem when we deal with 2D rotations, because then one of the invariant planes can just be projected away. This is how the embedding of complex numbers into quaternions works: the (1,i)-plane is an invariant plane of all of the rotations its unit circle gives rise to, even in 4D.

3D rotations aren't as easy. If you project away just one dimension from a family of isoclinic rotations with varying angle, you won't have a closed closed system in 3D. Only the identity rotation and the reflection will map the 3D subspace into itself. So we have to be smarter than that.

The solution is to somehow get rid of the second axis of rotation, that is to say, get its angle of rotation to go to zero. Happily this is not too painful. From the general to the particular, we first multiply our source quaternion from the left by a quaternion a, leading to some scaling based on the norms, and some left isoclinic rotation. Then we go ahead and also multiply by a from the right. Now the norm will have squared and the rotation doubled in one invariant plane, but the rotation in the other invariant plane will actually cancel, because we now did matched right isoclinic rotation as well. This is promising!

In order to undo the remaining damage, instead of a, we multiply from the right by the inverse of a. This nulls out the effects on norm and also reverses which plane was kept in place, but otherwise we now have a rotation which is no longer isoclinic, but has only one axis in 4D like 3D rotations have. Penultimately we project down suitably to get just a 3D rotation. We note that the doubling of angle never went away in our utility plane, so we start working in half angles. And finally for optimization's sake we note that as long as we always keep our a (now called a "rotor") to unit norm, the inverse of it is just the conjugate. We're left with the rotation formula x->axa^*, minding that a should now be calculated from half angles, and usually in algorithmic implementations keeping track of just a and negating its three imaginary components on-demand. Nice!

The algebraic–topological tradeoff

We did end up glossing over a major mathematical detail in the above, though. Quaternionic representations of 3d rotation are not single but double valued. When we do stuff this way, both a certain rotor and its inverse leads to the same rotation. In 3D geometry this is reflected by the fact that you can do a given rotation around a given axis either as such, or by reversing the axis and rotating the other way around. It's reflected in topology by the fact covering the 3D rotation group by the 4D one necessarily leads to a double cover. In the arithmetic that we traced through above, this is where the double sided conjugation and the need for half-angles ultimately comes from as well, and proves necessary.

Depending on your viewpoint, it can be a strength or a weakness. The upside and the reason why we go to quaternions is that working with the double cover, which admits a neat algebraic, topological and even differential description, makes the system more well behaved than the alternatives. In particular, not only one-off rotations or limited series of them can be described neatly without running into singularities such as gimbal lock, but the whole family of 3D rigid rotations can be handled continuously and without much attention to detail. Interpolation between orientations works seamlessly, and is easy to reason through using ordinary arithmetic. If you actually need to do calculus, you can, it's easy, there too you're shielded from the common mistakes by the machinery, and you don't have to deal with the extraneous degrees of freedom the rotation matrix formalization forces you to.

On the downside, what you're really dealing with here is a spinorial representation of rotation. It's notoriously hard to understand, with one of its inventors even calling it "kind of a square root of geometry", mysterious to even him and left as a difficult exercise to posterity. What the polarity of the quaternionic representation chosen means is not at all intuitive, or even clear, and so even if it doesn't much matter when you deal with just rotations, sometimes the choice might bite you in the ankle nevertheless. As it does for instance when combining two trajectories of rotations somehow, whose choice of polarity differs. All of the black magic here furthermore makes it a bit too easy to treat quaternions and their rotors as a black block, which whilst it's much more well-behaved in that role than many others, can still make a programmer succumb. If not often, then harder still when it happens.

The practical algorithmic tradeoff

Some people think quaternions are more efficient to use than matrices, in rotation. This is hogwash. Of course it's almost impossible to say if a well optimized implementation of a rotational operator really ought to be called quaternionic, vectorial or whatnot. But if you implement your rotations using the generic library operations for each type, almost everything will be faster over vector and matrix operations than the corresponding quaternionic ones. Not least because we have highly optimized linear algebra libraries available, starting with the BLAS derived series.

One could then argue that quaternions take less space to represent a rotation, and this much is true. However, in most practical applications the number of rotations represented is low compared to the clouds and oomphs of vectors they operate on. Which in the sandwich product formalism then have to be expanded by 4/3, each, to be operated on.

And so on. The quaternionic framework cannot in full conscience said to be conducive to numerical efficiency, at least in rotation only. So why do we go there in the first place? I'd argue this three-fold:

• Programmer productivity. Quaternions can be used as a black box which minimizes mistakes and debugging time. This follows from their eager topological, algebraic and geometrical properties.
• Numerical stability and computational efficiency in assuring it. Quaternionic representations of rotation can be continuously renormalized with little extra noise to actually represent a true rotation, instead of a linear transformation somewhat off and not as spherically symmetric.
• Extensibility of analysis within the problem domain. Because of their inbuilt structure, in more involved niches, quaternions lend themselves to straight forward analysis and even calculus.

So, in order, if you do it in quaternions, you can just treat them as a black box. A rotator here, and another one here. You won't go amiss, unlike you can with matrix representations. You won't experience gimbal lock when you track whole trajectories of orientations, and you won't as often be presented with surprises if you try to interpolate between positions. In particular, position interpolalation within the quaternionic framework is expectable, stable and as a particular case, for once rather efficient.

Numerical stability is especially important nowadays in orientation integration and sensor fusion applications; those earlier called dead reckoning, and implemented by intertial navigation systems. This is because integrating local sensor values into a global picture is highly sensitive to noise and bias, leading to drift in the integrated global position. Now, given that every mobile phone with gyros, magnetic and linear acceleration sensors nowadays try to solve this problem on lower tier hardware, just in order to follow your position on Google Maps, we don't need any extra sources of noise or bias/drift. The quaternionic representation helps you keep both to a minimum, and isn't too difficult to do in real time, unlike the provably optimal representations which force you to do a time-variant singular value decomposition. The benefit over vectorial representations is basically the same in rotational problems as it was in using discrete cosine transform in image coding. The gap is basically the same as in not going with the full Karhunen-Loeve transformation, which is no much.

My third point is much murkier. Very few people actually go with Hamiltonian calculus in real geometrical or physical problems, even if it could be useful. It is not well known, yet it isn't the most general or useful in general either. But if you start with just rotations, it is an easy continuation to even do general calculus, which then can't be done in more general frameworks. At least as simply or mechanically. For example it is exceedingly difficult to derive a self-contained algebraic theory of "jerk" as the third time derivative of place, above acceleration, over the spherical domain. That analog of linear jerk in a moving vehicle, which you mostly feels twist-wise and have to consciously counteract after your more basic instincts have nulled in their servos over the second linear partial derivatives. Perhaps even the first two rotational ones. The one which actually induces what is called "vertigo" since we can't as easily expect it.

Summa summarum

Quaternions represent rotations rather well. They do so in a fashion which keeps the rotational algebra easy o deal with, and can be mostly be deal with machinistically. Yet you should only utilize the representation when you're mostly dealing with rotations and their peculiarities. Immediately after you've done so, you should go back into a vectorial formalism, and rotate your usual clould of thousands or millions of vectors using other primitives and libraries. That way there's a proper division of labour in place: quaternionic rotation for productivity and numerical stability on the slow path, and counterwise fast, vectorial arithmetic on the fast and parallelizable GPU side. Reason with quaternions, while implementing mass 3D arithmetic vectorially.