Vesa Linja-Ahon seinällä tuli puhetta eksponenttifunktiosta, ja lupasin selittää mikä siinä on niin ihmeellistä. Eritoten, mikä on niin ihmeellistä juuri e-kantaisissa eksponenteissa ja logaritmeissa. Kun rupesin kirjoittamaan, homma paisui kuin pullataikina, kunnes lopulta totesin että parempi aloittaa alusta. Eli, yritetääs sittenkin sanoa tämä jotenkin vähän yksinkertaisemmin.
Algebrallisesti eksponenttifunktio on syntynyt alunperin samanlaisena lyhennyksenä kertolaskusta kuin kertolasku yhteenlaskusta. x*y tarkoittaa samaa kuin x+x+x+...+x jossa x:iä on y kappaletta, ja aivan vastaavasti x^y tarkoittaa x*x*x*...*x, jossa x:iä taas y kappaletta. Kaikkien kolmen operaation kohdalla on myös aikanaan tullut tarve tehdä homma käänteiseen suuntaan, mistä on saatu vähennyslaskun ja jakolaskun käsitteet. Nuo käsitteet sitten ovat herättäneet lisäkysymyksen: olisikohan ne mahdollista ilmaista erillisen operaation asemesta saman alkuperäisen operaation kautta liittämällä itse lukujoukkoon käänteis- tai vasta-alkioita.
Yhteenlaskussa vastaus on ehdoton kyllä, ja siitä lähti alunperin niin nollan kuin negatiivisten lukujenkin ajatus. Nuo lähtivät ensin käytännön kirjanpitotarpeista, ja sitten johdonmukaisesta yleistyksestä kun huomattiin että lukujanalla voi liikkua vasemmalle ihan samojen sääntöjen mukaan kuin yhteenlaskussa oikealle, ja sitä kautta ratkaista lineaarisia yhtälöitä koneellisesti/algebrallisesti. Kertolaskussa vastaus on miltei sama, eli huomataan tutun ykkösen käyttäytyvän kuin nolla yhteenlaskussa käyttäytyy, ja käänteislukujen käyttäytyvän aivan kuten vastaluvut yhteenlaskussa; nykytermein sanotaan että murto- ja reaaliluvut muodostavat molemmat ryhmän niin kerto- kuin yhteenlaskunkin suhteen, erikseen.
Ainoa poikkeus on luku nolla: sillä ei voi jakaa. Tämä ei johdu laskutoimitusten rakenteesta sinänsä, vaan kertolaskun historiasta moninkertaisena yhteenlaskuna. Se koodataan nykyään distributiivisuussääntöinä jotka kytkevät nuo kaksi eri tapaa käsitellä reaalilukuja toisiinsa, ja jotka modernein termein tekevät niin murto- kuin reaaliluvuistakin kunnan. Jos ja kun ne halutaan pitää voimassa, voidaan todistaa että noiden kahden laskutoimituksen identiteettialkioiden pitää olla erillisiä, tai sitten kunta lakoaa mielenkiinnottomaksi triviaalitapaukseksi.
Eksponenttifunktio toki oli tunnettu jo aiemmin koronlaskun matematiikan tähden, mutta sen käänteisoperaatio eli logaritmi tuli mukaan kuvaan mutkan kautta, ja vasta 1600-luvulla, koska sillä ei aiemmin ollut merkittäviä sovelluksia arkimatematiikassa. Logaritmia käytettiin alunperin kertolaskun helpottamiseen. Tässä olennaisessa osassa on tuo jo mainittu kertolaskun ja yhteenlaskun historiallinen yhteys: ensimmäinen on toistettu versio jälkimmäisestä, joka oli nyt vihdoin ilmaistu täysin yleistettynä versiona ja oli kirjoitettavissa yhtenä operaationa suuremmassa lukujoukossa. Nimittäin, aivan vastaava yhteys on sitten kertolaskun ja eksponenttienkin välillä, sekin voidaan yleistää suurempaan joukkoon, ja kaikki tuo onnistuu niin että laskusäännöt säilyvät. Nykytermein sanotaan, että eksponenttifunktio on isomorfismi reaalilukujen additiiviselta ryhmältä niiden multiplikatiiviselle ryhmälle. Vaikka laskutoimitukset ovat erilliset, ne ovat sillä tavalla samanrakenteiset, että kun vain osaat hyppiä noiden kahden esityksen välillä, operaatiot toisessa ryhmässä voi yhtä hyvin toimittaa toisessa, ja sitten vain muuntaa takaisin. Tulos ei muutu.
Logaritmi keksittiin alunperin tuohon tarkoitukseen: yhteenlasku käsin on tavattoman paljon helpompaa kuin kertolasku, varsinkin hankalilla murtoluvuilla, eli kunhan kerran taulukoit tuon isomorfismin (logaritmi), voit hypätä kertolaskuongelmasta yhteenlaskuongelmaan, ynnätä, ja pompata käänteisisomorfismin (eksponentti) kautta takaisin, ja ongelma ratkesi tavattoman paljon helpommin. Mm. laskutikku toimii tuolla periaatteella: sen asteikot ovat reaalilukujen isomorfismeja, suoritettava operaatio on kahden janan summa, ja sitten viimeinen hyppy liukuvasta asteikosta kiinteään toteuttaa käänteisisomorfismin. Voila: toimiva puolisilmämääräinen kertolasku. (Leveämmissä ns. "insinööritikuissa" joukko muitakin samankaltaisia homomorfismilaskuja, ja laskupyörissä sama homma lisäksi topologisesti ympyrän näköisille ryhmille, sekä Riemann-lehdistön tapaisten käsitteiden kautta moniarvoiset käänteis"funktiot" niiltä.)
Voidaan myös näyttää, että tämä selittää eksponentti–logaritmi-parin erityisyyden täysin. Ei ole mitään muuta kaikki halutut säännöt säilyttävää isomorfismia reaalisten yhteenlasku- ja kertolaskuryhmien välillä. Mutta yksi ikävä liikkumavara vielä on: miksi ne eksponentit tehdään mieluiten Neper-kantaan, kun kyllähän tuo logaritmijippo kertolaskussa toimii muillakin—ensimmäiset logaritmitaulukot esim. olivat kymmenkantaisia—eikä kertolaskussa tai yhteenlaskussa toki ole tuollaista ihme-erityis-lukua. (Identiteettialkiot on, mutta niin se on ykkönen eksponentillekin, eli tuo e on ylimääräinen erikoisluku verrattuna siihen.)
Neperin luvun erityisyyden voi selittää hyvin monella eri tavalla riippuen siitä minkä matematiikan erityisalueen näkökulmasta katsot asiaa. Tuo moninaisuus itsessään on taas sitten selitettävissä ainakin parilla eri tavalla, joista annan vain kaksi. Ensimmäinen intuitiivinen juju on se, että joka kerta kun työnnämme rekursiivisesti johonkin tavalliseen loogiseen systeemiin lisäaksioomia, joko se jossain vaiheessa stabilisoituu niin että rekursio tuottaa vain lisää samaa (parempi lopettaa), tai lisäehdot supistavat sallitut toteutukset (mallit) loogisesta rakenteesta äärelliseen kokonaismäärään (kiva tietää, ja sitten peli loppui) tai monimutkaisuus kertautuu (ehkä kiva tietää, joskin useimmiten tosin vain tylsä, säännöllinen, kombinatorinen räjähdys jossa kaikki käy; todellakin parempi lopettaa jos haluaa säilyttää mielenterveytensä).
Eksponenttifunktio kantaan e on monessakin suhteessa juuri tuolla rajalla: sen tavallinen derivaatta (ja siis antiderivaatta) ovat esimerkiksi tismalleen se itse, jolloin se on helpoimmin hallittava ja parhaiten tunnettu perustapaus johon kaikki muut tuollaiset itsensäkaltaisiksi skaalautuvat ilmiöt redusoidaan. Tämä esimerkiksi on se syy miksi e pulpahtaa aina pintaan fraktaalien, kenttäteorioiden, ja vaikkapa jatkuvan muuttujan pitkällemenevien tilastollisten riippumattomuusoletusten kanssa: jos x mittakaavasta/-tikusta (siis kertolaskun valitusta "erityiskannasta"; mittauksen "perusyksiköstä") riippumatta näyttää ihan samalta, x on oikeastaan matikan haarasta riippumatta väkisin jotenkin sidoksissa e-kantaiseen eksponenttiin. Kaikki skaalariippumattomuuden ajatukseen liittyvä reduktiopäättely lähes vääjäämättä laskeutuu jotakin tai useampaa morfismien ketjua pitkin kohti tuota simppeleintä ja tunnetuinta ja suljetussa muodossa näteimmin käyttäytyvää perusesimerkkiä.
Tuon kummallisuuden tajuaa ehkä parhaiten, kun vertaa sitä toiseen esimerkkiin ilmiöstä: pi:hin. Se ilmaantuu aivan samalla klassisen tragedian vääjäämättömyydellä kaikkiin laskuihin joilla on jotain tekemistä periodisuuden/syklisyyden/toistavuuden kanssa. Nimittäin toistavasta rakenteestahan perusesimerkki ja parhaiten tunnettu ja suljetussa muodossa nätein on tietenkin ympyrä, jonka symmetriaan pi sitten olennaisesti liittyy.
Molemmista noista vakioista voi sitten myös toisaalta sanoa, että ne ovat paitsi loogisen mahdottomuuden ja mielivaltaisuuden rajalla ja siksi erityisiä, myös luonnollisten yleistystensä kautta osa monta niin jäykkää rakennetta, että ne rakenteet itsessään, yksikäsitteisyydessään, levittävät jäykkyyttä joka paikkaan mihin koskevat. Mikään ei ole tästä parempi esimerkki kuin kompleksilukujen kunta, ja se kuinka pi ja e kohtaavat siinä Eulerin yhtälön kautta.
Kompleksiluvut nimittäin ovat (taas todistetusti) ainoa tapa säilyttää reaalilukujen (tärkeitä koska kaikki arkimittaaminen ja kirjanpito perustuu niihin) tavalliset ominaisuudet (poislukien lineaarinen järjestys), ja silti lisätä niihin se ominaisuus että äärellisestä yhteen- ja kertolaskusta lähtevät (polynomi)yhtälöt ovat aina ratkaistavissa. (Se että järjestys ei voi säilyä on helppo nähdä jälkikäteen yksikköympyrän olemassaolosta: kaikki sen pisteet toteuttavat yhtälön x^2+y^2=1, eikä topologista ympyrää voi järjestää lineaarisesti. Jossain täytyy tehdä valinta, ja ympyrät sekä suorat on paljon kiintoisampi juttu kuin vain suorat. Silloin järjestys rajoitetaan reaalilukujen osajoukkoon ja annetaan ympyröiden kukkia kompleksitasossa; tuo myös riittää samalla kaikkeen muuhunkin polynomikamaan, eli me hymyillään leveästi.)
Lukujärjestelmänä kompleksiluvut ovat sitten myös niin äärimmäisen jäykkä systeemi, ettei niitä kertakaikkisesti voi tehdä mitenkään muuten; ne on jo tuon algebrallisen ja topologisenkin täydellisyytensä takia ympätty niin täyteen rakennetta ja symmetriaa, että juuri mitään ei voi muuttaa ilman että kaikki lakoaa suuntaan tai toiseen käsistä. Niiden joka nurkasta irvistää, kaikista mahdollisista näkökulmista, yksikäsitteisyyttä, isomorfiaa, yhtä kertolaskun ominaisuutta, toista yhteenlaskun ominaisuutta, ja kaikkea sitä millä tuollaisia käsitteitä nyt ylipäänsä kuvataan. Eli siis kertolaskun ykköstä, yhteenlaskun nollaa, toistetun kertolaskun e:tä, yksikköympyrän koodaaman syklisyyden pi:tä, ja sitten kun noin iso pirulainen ei enää sopinut dimensioon yksi (järjestysrikko), sen ylimääräisen dimension tuomaa miinusmerkkiä/imaginaariyksikköä/konjugaatiota.
Kun kaikissa ryhmissä alkiot joko palautuvat eri operaatioissa samaan tai eivät, ainakin se palautuminen on käsitteenä palautettavissa usein johonkin morfismiin johonkin kompleksisen yksikköympyrän diskreettiin aliryhmään, tai niiltä, tai sitten monimutkaisemmat jutut johonkin rakenteeseen jonkin kompleksitason polynomikäyrän sisällä, tai... Kun kaikessa rajalaskussa puhutaan pienistä muutoksista jonkin jutun ympärillä ja niiden seuraamukset tuppaavat olemaan palautettavissa lineaarikuvausten teoriaan, jälkimmäinen teoria sitten palaa perusesimerkkeinään siihen miten siirrot (yhteenlasku), skaalaukset (kertolasku) tai kierrot (unitaaritransformaatiot, joista simppelein on joko kompleksisen yksikköympyrän käytös) tai hyperboliset kierrot (pahuutta reaalisen ykkösen lähimaastossa) käyttäytyvät...
Niinkin perverssejä kavereita on että tarvitsevat jotain ilkeämpää kohdetta reduktiolleen kuin kompleksilukuja, mutta he ovat harvassa, he ovat tosi perverssejä, eivätkä he enää työskentele edes niin arkisten, elämänläheisten ja simppeleiden juttujen kanssa kuin...koko nykyfysiikka seuraamuksineen.
Tuosta näkökulmasta siis voidaan sanoa, että e ei itse asiassa olekaan erityisen merkittävä ihan vain yksin, vaan että se on osa sitä suurempaa ja monipuolisempaa pakkopaitaa jota kutsutaan kompleksiluvujen kunnaksi. Se tulee samassa paketissa kaikkien sen muidenkin erityisvakioiden kanssa, kuten pi:n. Nuo erityisvakiot joukkona ja kompleksiluvut kokonaisuutena sitten ovat niin olennaisia siksi, että ne ovat yleisin, hyödyllisin, ylivoimaisesti jäykin/yksikäsitteisin, ja sitä kautta asenteesta riippuen joko kaunein/elegantein tai tyrannisin/pahantahtoisin/maagisin matemaattinen konstruktio johon terveet ihmiset joutuvat koskaan törmäämään. Nuo yksiköt nyt vain ovat se luonnollisin ja simppelein tapa kuvata kyseinen monalisa/belzebub; se joukko invariantteja joiden termein on vähiten kivuliasta ilmaista kaikki tuohon monumentaaliseen enkeliin–paholaiseen liittyvät käytännön laskut–reduktiot. Todistettavasti ainoa tapa myös, koska ne eivät ole ihan vain symboleja tai kivoja lukuarvoja, vaan puhtaita numeroita jotka olisivat kaikissa vastaavaa yleisroolia toimittavissa vaihtoehtoisissa loogisissa järjestelmissä välttämättä olennaiselta sisällöltään samoja.
Kun sitten viimein tuntuu olevan niin että jokseenkin kaikki kiva–kiintoisa–hyödyllinen inhimillisesti–ymmärrettävä matemaattisesti redusoituu noihin pyörimisiin, siirtoihin, summiin, tuloihin ja niille tai niistä lähteviin analogiapäättelyihin/morfismeihin, ei se suurikaan ihme ole että taikauskoisempi matemaatikkokin katsoo e:n olevan yksi osa Kirjaa. Siis suoranaisesti Jumalan itseilmaisua, ateistin päässä Luonnon itsensä invariantti substantiivi, tai paatuneen relativistiskeptikonkin kuten itseni päässä "se helpoin tapa inhimillisesti puhua tietyistä kokemusmaailmamme äärimmäisen yleisistä, matemaattisiksi nimitetyistä lainalaisuuksista, tai niiden järkeenkäyvistä johdannaisista".
No comments:
Post a Comment