Kinkun ja jalan optimaalinen lämmitys

Lämpöyhtälö on elliptisenä varsin dispersiivinen ajassa. Se ei kanna aaltoyhtälön kaltaisia hyperbolisia, selviä, itsejatkavia aaltoliikkeitä, edes häviöttömänä. Kuitenkin se on vaiheviiveessään, Greenin funktioiden kautta, kykenevä fokusoimaan ainakin pienen osan energiasta. Silloin kun järjestelmän alkuehdot fokusoivat tarkoituksella enemmän kuin lämpöyhtälö hajottaa. Aion intuitiivisesti näyttää seuraavassa kuinka tuo liittyy joulukinkkuun, sekä paleltuneeseen jalkaan.

Yksiulotteinen lämpöyhtälö

Lämpöyhtälötyypin osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat sellaisia, että ne ovat tuskallisen hitaita reagoimaan. Ne levittävät sisääntulevan pulssin järjettömän pitkälle jopa häviöttöminä, ja sitä pidemmälle mitä aikaa katsotaan. Noin vaikkapa siinä kuinka kvanttimekaniikka toimii: Schrödingerin yhtälö on laitettavissa lämpöyhtälömuotoon, ja juuri siksi siitä voidaan johtaa häviöttömästi epätarkkuusperiaate, sen sotkien optimaalisesti paikkaa ja momenttia toistensa suhteen. Tuollainen on vastenmielistä kaikenlaisen ennustustarkkuuden suuntaan.

Samalla häviötön lämpöyhtälö kuitenkin on edelleen lineaarinen järjestelmä, joka on invertoitavissa periaatteessa täysin. Niin yhdessä ulottuvuudessa, kuin kaikissa muissakin. Siihen voi teoriassa syöttää alkuehdot jotka johtavat energian rekompaktioon paikallisesti, ja se voi itsessäänkin tietyin reunaehdoin johtaa puhdasta odotusta suurempiin ailahteluihin, ihan itekseen.

Lähes-pallonmuotoinen tapaus, eli joulukinkku

Kun lähetät lämpöyhtälössä alkuehtona pallonmuotoisen kappaleen ulkopuolelta lämpöimpulssin sisäänpäin, se ei tavalliseen tapaan hajoa paikassa, vaan kasvaa ajan myötä kappaleen keskustaa kohti. Tuo on tavallista lineaarista interferenssiä, mutta tässä kohtaa kenties odottamatonta. Asiaa voi analysoida vaikkapa Sommerfeltin säteilyehdon lokalisoidun version kautta: se miten energiaa pantiin spatiaalisissa normaalimuodoissaan sisään, jää vaihesiirtymässään myös sisään, ajan kanssa, kunnes säteilee pois. Kun lämpöyhtälö vaikkapa joulukinkussa on niin hidas, aika pitkäksi aikaa se sinne jää ennen kuin säteilee takaisin pois tai joutuu pisteittäiseen tasapainoon, ja joo, kyllä se vähän se lämmönsiirto aaltoilee siellä keskustassakin ennen kuin päätyy säteilytasapainoon ympäristön kanssa. Olkootkin, että lämpöyhtälö ei mene hyperbolisesti aaltoregiimiin, vaan vain latteuttaa impulsseja; sferikaalinen alkuehto sisääntulevassa aallossa silti voi fokusoida senkin tasoituksen kautta energiaa niin paljon, että paikallinen lämpötila nousee paljon korkeammaksi kuin ulommalta pinnalta aallossa annettu.

Tämä on selitys sille kuinka joulukinkku aina menee odotettavasti ylikypsäksi. Jos mittaat sen optimaalisesti läheltä luuta, eli sisältä, ja uunin lämpötilan lähtiessä ulkoa suorana step-vasteena, jopa lämpöyhtälössä se annettu lämpöenergia fokusoituu osittain keskelle paistia/kinkkua. Se ei tasaannu heti tasapainoon, vaan piikkaa ennen kuin lämpöaallot tasaantuvat yhtälönsä mukaan kokonaislihaan. Silloin lihaan odotettavasti, yli kaikkien lihojen ja ennakkoehtojen ja aikojen, jää keskelle ylikypsynyt kinkku, joskin samalla ylemmissä lämmönjatkomoodeissa per geometria enemmän ja enemmän tasoittuneempia modaalisia paikkoja.

Ovaali kinkkutapaus

Jos sun kinkku on ovaali, häviöllinen lämpöyhtälö on muunnettavissa tietyissä rajoissa häviöllisen aaltojohtimen tapaukseen, joka on paljon paremmin analysoitu vielä, radiotekniikassa. Sekä akustiikassa, toisena hyperbolisena yhtälönä. Tuota muunnosta kutsutaan nimellä duaalimuunnos, ja se on sitä—poislukien reuna- ja suppenemisehdot äärihommissa—niin että kaikki relevantit suureet muuntuvat käänteissuureikseen. Se ei ole ihan matemaattinen isomorfia, mutta todella lähelle se tulee.

Tyttöystävän paleltunut jalka

Alunperin tämä tosin lähti käytännön ongelmasta: tyttöystävä valitteli kylmää jalkoissaan, samalla kun minä yrittelin tehdä hänelle kuumaa ruokaa uunissa. Nämä molemmat ongelmat ovat samaa lämpöyhtälön inversioon liittyvää laatua, oletuksella että paikallinen lämpötila on reunaehtoja myöden myös hetkellisessä neliönormissaan/tehotiheydessään absoluuttisesti rajattuja. Aiavan kuten se taannoisessa koodi-ideassani mainitsemani koodikin, joka jakaa energiaa aikaan, kun ei voi saman tien rajatta heittää energiaa kanavaan.

Tällaisessa kinkku-/jalka-/tyttöongelmassa tulisi ekana arviona invertoida pulssivaste häviöttömänä. Tulisi laskea taaksepäin mitä maksimipulssit ovat. Arviona ne, jotka tuottavat kovimman vasteen kinkun-/jalan sisällä, kun lämmitetään. Tuosta on sitten helpompi lähteä taaksepäin siihen, kuinka pulssin vaihevaste tulisi suunnitella, jotta se ei johtaisi ylilämpiämiseen. Niin vaikeita kuin kunnolliset osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmien ja kenttäteorioiden Greenin funktiot ovatkin johtaa suljetussa muodossa (mahdollista kyllä ovaaleilla reunaehdoilla, juuri ja juuri vielä, muttei juuri yleisemmillä missään tokan asteen systeemeissä), ainakin laskennallisesti nuo ovat traktaabeleita. Kääntymisspheroidiksi arvioi kinkku admittoi tietääkseni jopa suljetun muodon ratkaisun vastaavassa symmetriaryhmän esityksessä, käytettäen hyväksi erinäisiä (mulle pitkälti tuntemattomia) hypergeometrisia funktioita sekä niiden johdannaisia.

Vaan mites se jalka? Noh, tässä matikka auttaa. Kas kun se ja sen kenkä voidaan myös mallintaa palloharmonisten funktioiden potentiaalipintoina, kuten myös rajapinta eri tavoin lämpöä johtavien kengän ja jalan kerrosten välillä. Toi approksimaatio on tuntuvasti leudompi kuin jos puhuttaisiin siitä nopeammasta, hyperbolisesta aaltoyhtälöstä, joka kantaa aaltoliikettä; näitä ratkaisuja ei tarvitse edes numeerisesti järin taltuttaa. Suljetun muodon ratkaisua on aivan turha odottaa, mutta kun kerran tehdään sopivat odotukset kengänpohjan ohuudesta, pohjan alla olleen jään keskimääräisestä pois-lämpökapasta, jalan lämpökapasta, jalan keskimääräisistä 2D muodoista ja niiden painavuudesta/kontaktista kengän rajapintaan, eli lämpösiirtyvyydestä…viimeistäänkin numeerisesti tosta saadaan lähesoptimaalisia tuloksia sille miten lämmittää tyttöystävän jalka optimaalisesti takaisin! Ei tartte ees olla kinkku, vaan menee läpi (epävakaalla) lämpöyhtälön osittaisinversiolla! :D

Ideaalinen kombinatorinatorinen peli, mensalaisille

Maailmassa on paljon älypelejä, joita arvostetaan juuri siksi että ne ovat kombinatoriikaltaan hankalia. Šakki ja Go lienevät tunnetuimpia niistä. Niiden juju on pohjimmiltaan siinä, että pitää miettiä todella pitkälle eteenpäin voittaakseen toisen, jolloin mahdollisten siirtojen vaikutukset pelin kulkuun monimutkaistuvat eksponentiaalisesti siirtojen määrän edetessä. Vaaditaan melkoista prosessointikykyä nähdä mikä se vaikutus lopulta on. Siksi nuo pelit mittaavat älykkyyttä, joka pohjimmiltaan on jossittelu- ja hahmontunnistusnopeuden sekä lähimuistin mitta.

Šakissa ja Gossa kuitenkin on molemmissa oma estetiikkansa. Niistä on tunnistettavissa suoraan lautaa katsomalla, kumpi on voitolla. Ei täysin, mutta aika pitkälle kyllä. Niinpä molempia pelejä voi oppia ihan vain tallentamalla pitkäaikaiseen muistiin kaikenlaisia kiinteitä intuitiivisia kuvioita ja niihin liittyviä pelisääntöjä. Tuollainen oppiminen auttaa vähän typerämmänkin pelaajan pärjäämistä, yli puhtaan älykkyyden.

Joten mitäs jos käännettäisiin se peli hieman ympäri? Entäpäs jos yritettäisiinkin suunnitella peli, joka jossain mielessä todistettavasti ei tuota kuvioita, ainakaan asymptoottisesti? Tuollaisessa pelissä voittava asema näyttää todistettavasti täysin samalta kuin ei-voittavakin, keskimäärin, mutta siinä silti on siirtosäännöt ja yksikäsitteinen voittaja. Ainoa tapa voittaa on sitten katsoa niin ja niin paljon eteenpäin säännöissä, ja niistä säännöistä pitäisi voida johtaa aika vahva tulos siitä kuinka paljon peli monimutkaistuu per sääntö ja/tai siirtovuoro.

Olen aika varma että tuollainen peli olisi johdettavissa kryptografian menetelmiä käyttämällä. Nimittäin, kun suunnittelet symmetrisiä kryptosysteemejä, tarkoituksena on aina johtaa järjestelmä joka:

• kullakin kierroksellaan hajauttaa mahdollisimman tehokkaasti seuraavan tilan statistiikan, ja
• on niin epälineaarinen kuin vain on mahdollista.

Olen melko varma että käyttämällä tuollaisia periaatteita, olisi luotavissa lautapelikin, joka menee maksimaalisen vaikeaksi peräkkäisiä siirtoja miettiessä. Sellainen peli olisi todistettavasti eksponentiaalisen vaikea, ja tasaisesti niin, kun mietit eteenpäin. Eli se mittaisi tehokkaasti pelaajan älykkyyttä, etenkin kun peliin kuuluisi pikašakin tapaan kellotettu pelivuoron pituus (ei kuitenkaan maksimiraja vuoroille, jollei tuosta haluttaisi tehdä erillistä pikaversiota myös).

Tuollainen peli on taatusti tehtävissä, mutta se olisi jokseenkin epämiellyttävä, koska jopa älykkäimmät luultavasti kokisivat sen epätyydyttäväksi. Ikään kuin peli lähtisi lapasesta lähes yhtä lähellä kuin typerimmän arvauksissa, suurimman osan aikaa. Optimoituna se olisi liian vaikea ja äkkinäinen; yksikään virhe ei olisi korjattavissa jälkeenpäin, toisin kuin inhimillisemmissä peleissä. Näin, koska optimaalinen peli erottelee satunnaista lähestyvässä rakenteessaan optimaalisia siirtoja liian nopeasti, ja vahvistaa maksimaalisesti pienintäkin päätösvirhettä; se ei tunnu peliltä lainkaan, vaan vittuilulta. Lopulta tuntuu jopa puhtaalta melulta kuin noppapeleissä, joihin on työnnetty täysin riippumatonta kohinaa, eli sellaista joka tuntuu epäreilulta säkältä kovimmallekin pelaajalle.

Tuotakin ongelmaa voidaan sitten auttaa. Jos ensin on peli joka varmasti on maksimaalisen hankala, ainahan koodausteoria auttaa injektoimaan sen sääntöihin valitun määrän redundanssia. Silloin peliä voi oppiakin, mutta toisin kuin aiemmissa peleissä, tuo oppimismahdollisuus olisi tarkasti kvantifioitua ja täysin jatkuvaa koko pelin ajan. Kokonaispeli olisi edelleen täysin tasaisesti eksponentiaalinen vaativuustasoltaan, mutta koska mahdollisuus korjata aiempia virheitä olisi myös läsnä, tasaisesti, peli voisi jatkua vaikka kuinka pitkään, kuten pelien pitääkin. Voitaisiin vaikkapa vaatia, että se sisältää tasaisen jakauman eksponentiaalisesti pidempiä alipelejä, jotka ovat jossain mielessä maksimaalisen laskennallisesti hankalia per alipelin pituus. Kuitenkin alipelin ollen jatkuvasti stokastisesti ekvivalentti jossain mielessä yksinkertaisemman pelin kanssa. Tuokin voidaan luoda takein, vaikka pelissä sinänsä olisi sen verran (tarkkaan harkittua) redundanssia, että se tuntuu vielä (taas!) peliltä eikä kryptanalyysilta. Varmastikin voitaisiin jopa sopivasti suunnitellen osoittaa, että tuo redundanssi näyttää joltain enemmän tai vähemmän tunnistettavalta kiinteällä laudalla, graafisesti, ja seuraa kiinteitä yksinkertaisia sääntöjä, sen sijaan että pelistä tulee alien-fu:ta. Tyyliin joku Star Trekin 4D-šakki, jota kukaan ei ymmärrä. Noin luoden, on myös mahdollista uskoakseni tehdä pelistä sellainen, että sen perussäännöt ovat lapsenkin opittavissa, samalla kun sen hankaluus on asymptoottisesti katsoen todistettavasti eksponentiaalinen, eli mahdoton; jopa kvanttikonetta vastaan, jos se johdetaan sopivasta symmetrisestä kryptosysteemistä vaikkapa.

Viimein, jotta peli pysyisi kiintoisana, nää optimointiperiaatteet johtais siihen että oppineet pelaajat voittaisivat sitäkin nopeammin kuin nykyisissä peleissä. Pelaajien keskimääräinen älykkyys tulisi mitattua niin tarkasti siirto per siirto, että peli loppuisi jopa saman summittaisen älykkyysosamäärän pelaajien kesken miten sattuu, päivästä päivään—ÄO on keskiarvo, ja ailahtelee pistetolkulla riippuen vaikkapa siitä kuinka hyvin olet nukkunut. Niinpä voisi olla myös järkevää tuoda mukaan peliin tietty komponentti sattumaa, joka sotkee päivittäiset keskimääräiset vaihtelut keskiarvosta. Noiden nopanheittojen pitäisi kuitenkin osoittaa menevän pelidynamiikassa niin vähään, etteivät sotke pelin edustaman älykkyysmitan keskiarvoa ja asymptootteja, vastaan äärimmäinen superpäättelijä. Tuon voisi uskoakseni osoittaa koodaus- ja informaatioteoreettisin periaattein, a priori; varsinkin juuri lukemani anytime-coding-theoryn kautta.

Aika ylätason intuitiota tämä on, joo, mutta mä haluisin vähän nähdä lautapelin joka on rakennettu ainakin so-so lähtien tällaisista periaatteista. Ikään kuin "tasaisen vaativan pelin". Se voisi olla aika jännä vastaesimerkki ainakin kaikelle koneälylle, ja jos se suunniteltaisiin vielä niin että se on kahden ihmisen välisessä pelissä jossain määrin optimaalisen hankala modulo suunniteltu kombinatorinen helppous ja/tai sisäänsuunniteltu graafisuus optimoiden ihmisen signaalintunnistuskykyjä vastaan, se vois itse asiassa olla jopa suositumpi kuin nämä perinteiset vastineensa.