Lämpöyhtälö on elliptisenä varsin dispersiivinen ajassa. Se ei kanna aaltoyhtälön kaltaisia hyperbolisia, selviä, itsejatkavia aaltoliikkeitä, edes häviöttömänä. Kuitenkin se on vaiheviiveessään, Greenin funktioiden kautta, kykenevä fokusoimaan ainakin pienen osan energiasta. Silloin kun järjestelmän alkuehdot fokusoivat tarkoituksella enemmän kuin lämpöyhtälö hajottaa. Aion intuitiivisesti näyttää seuraavassa kuinka tuo liittyy joulukinkkuun, sekä paleltuneeseen jalkaan.
Lämpöyhtälötyypin osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat sellaisia, että ne ovat tuskallisen hitaita reagoimaan. Ne levittävät sisääntulevan pulssin järjettömän pitkälle jopa häviöttöminä, ja sitä pidemmälle mitä aikaa katsotaan. Noin vaikkapa siinä kuinka kvanttimekaniikka toimii: Schrödingerin yhtälö on laitettavissa lämpöyhtälömuotoon, ja juuri siksi siitä voidaan johtaa häviöttömästi epätarkkuusperiaate, sen sotkien optimaalisesti paikkaa ja momenttia toistensa suhteen. Tuollainen on vastenmielistä kaikenlaisen ennustustarkkuuden suuntaan.
Samalla häviötön lämpöyhtälö kuitenkin on edelleen lineaarinen järjestelmä, joka on invertoitavissa periaatteessa täysin. Niin yhdessä ulottuvuudessa, kuin kaikissa muissakin. Siihen voi teoriassa syöttää alkuehdot jotka johtavat energian rekompaktioon paikallisesti, ja se voi itsessäänkin tietyin reunaehdoin johtaa puhdasta odotusta suurempiin ailahteluihin, ihan itekseen.
Kun lähetät lämpöyhtälössä alkuehtona pallonmuotoisen kappaleen ulkopuolelta lämpöimpulssin sisäänpäin, se ei tavalliseen tapaan hajoa paikassa, vaan kasvaa ajan myötä kappaleen keskustaa kohti. Tuo on tavallista lineaarista interferenssiä, mutta tässä kohtaa kenties odottamatonta. Asiaa voi analysoida vaikkapa Sommerfeltin säteilyehdon lokalisoidun version kautta: se miten energiaa pantiin spatiaalisissa normaalimuodoissaan sisään, jää vaihesiirtymässään myös sisään, ajan kanssa, kunnes säteilee pois. Kun lämpöyhtälö vaikkapa joulukinkussa on niin hidas, aika pitkäksi aikaa se sinne jää ennen kuin säteilee takaisin pois tai joutuu pisteittäiseen tasapainoon, ja joo, kyllä se vähän se lämmönsiirto aaltoilee siellä keskustassakin ennen kuin päätyy säteilytasapainoon ympäristön kanssa. Olkootkin, että lämpöyhtälö ei mene hyperbolisesti aaltoregiimiin, vaan vain latteuttaa impulsseja; sferikaalinen alkuehto sisääntulevassa aallossa silti voi fokusoida senkin tasoituksen kautta energiaa niin paljon, että paikallinen lämpötila nousee paljon korkeammaksi kuin ulommalta pinnalta aallossa annettu.
Tämä on selitys sille kuinka joulukinkku aina menee odotettavasti ylikypsäksi. Jos mittaat sen optimaalisesti läheltä luuta, eli sisältä, ja uunin lämpötilan lähtiessä ulkoa suorana step-vasteena, jopa lämpöyhtälössä se annettu lämpöenergia fokusoituu osittain keskelle paistia/kinkkua. Se ei tasaannu heti tasapainoon, vaan piikkaa ennen kuin lämpöaallot tasaantuvat yhtälönsä mukaan kokonaislihaan. Silloin lihaan odotettavasti, yli kaikkien lihojen ja ennakkoehtojen ja aikojen, jää keskelle ylikypsynyt kinkku, joskin samalla ylemmissä lämmönjatkomoodeissa per geometria enemmän ja enemmän tasoittuneempia modaalisia paikkoja.
Jos sun kinkku on ovaali, häviöllinen lämpöyhtälö on muunnettavissa tietyissä rajoissa häviöllisen aaltojohtimen tapaukseen, joka on paljon paremmin analysoitu vielä, radiotekniikassa. Sekä akustiikassa, toisena hyperbolisena yhtälönä. Tuota muunnosta kutsutaan nimellä duaalimuunnos, ja se on sitä—poislukien reuna- ja suppenemisehdot äärihommissa—niin että kaikki relevantit suureet muuntuvat käänteissuureikseen. Se ei ole ihan matemaattinen isomorfia, mutta todella lähelle se tulee.
Alunperin tämä tosin lähti käytännön ongelmasta: tyttöystävä valitteli kylmää jalkoissaan, samalla kun minä yrittelin tehdä hänelle kuumaa ruokaa uunissa. Nämä molemmat ongelmat ovat samaa lämpöyhtälön inversioon liittyvää laatua, oletuksella että paikallinen lämpötila on reunaehtoja myöden myös hetkellisessä neliönormissaan/tehotiheydessään absoluuttisesti rajattuja. Aiavan kuten se taannoisessa koodi-ideassani mainitsemani koodikin, joka jakaa energiaa aikaan, kun ei voi saman tien rajatta heittää energiaa kanavaan.
Tällaisessa kinkku-/jalka-/tyttöongelmassa tulisi ekana arviona invertoida pulssivaste häviöttömänä. Tulisi laskea taaksepäin mitä maksimipulssit ovat. Arviona ne, jotka tuottavat kovimman vasteen kinkun-/jalan sisällä, kun lämmitetään. Tuosta on sitten helpompi lähteä taaksepäin siihen, kuinka pulssin vaihevaste tulisi suunnitella, jotta se ei johtaisi ylilämpiämiseen. Niin vaikeita kuin kunnolliset osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmien ja kenttäteorioiden Greenin funktiot ovatkin johtaa suljetussa muodossa (mahdollista kyllä ovaaleilla reunaehdoilla, juuri ja juuri vielä, muttei juuri yleisemmillä missään tokan asteen systeemeissä), ainakin laskennallisesti nuo ovat traktaabeleita. Kääntymisspheroidiksi arvioi kinkku admittoi tietääkseni jopa suljetun muodon ratkaisun vastaavassa symmetriaryhmän esityksessä, käytettäen hyväksi erinäisiä (mulle pitkälti tuntemattomia) hypergeometrisia funktioita sekä niiden johdannaisia.
Vaan mites se jalka? Noh, tässä matikka auttaa. Kas kun se ja sen kenkä voidaan myös mallintaa palloharmonisten funktioiden potentiaalipintoina, kuten myös rajapinta eri tavoin lämpöä johtavien kengän ja jalan kerrosten välillä. Toi approksimaatio on tuntuvasti leudompi kuin jos puhuttaisiin siitä nopeammasta, hyperbolisesta aaltoyhtälöstä, joka kantaa aaltoliikettä; näitä ratkaisuja ei tarvitse edes numeerisesti järin taltuttaa. Suljetun muodon ratkaisua on aivan turha odottaa, mutta kun kerran tehdään sopivat odotukset kengänpohjan ohuudesta, pohjan alla olleen jään keskimääräisestä pois-lämpökapasta, jalan lämpökapasta, jalan keskimääräisistä 2D muodoista ja niiden painavuudesta/kontaktista kengän rajapintaan, eli lämpösiirtyvyydestä…viimeistäänkin numeerisesti tosta saadaan lähesoptimaalisia tuloksia sille miten lämmittää tyttöystävän jalka optimaalisesti takaisin! Ei tartte ees olla kinkku, vaan menee läpi (epävakaalla) lämpöyhtälön osittaisinversiolla! :D
No comments:
Post a Comment