Olen pitkään miettinyt, mikä tuossa Faster than Nyquist -kamassa (FTN) on niin häiritsevää, ja vähän luulen että saatoin löytää ideanpätkän vihdoin miten osoittaa ongelma. Tämä ei ole matematiikkaa edelleenkään, tai koodausteoriaa, mutta minusta hyvä intuitio se kyllä on, ja jatkoa edelliselle.
Kaistarajatut signaalit, joiden piirissä FTN-signalointikin analysoidaan, ovat matemaattisesti katsoen äärimmäisen jäykkiä rakenteita. Näin siksi, että ne ovat paitsi reaalianalyyttisia, myös kompleksisellaisia. Tuo mahdollistaa kaikenlaista kivaa, mutta myös kaikenlaista aivan kammottavan epäintuitiivista. Esimerkiksi se jäykkyys mahdollistaa compressive sensing -tulokset, hirvittävän määrän erilaisia näytteistysteoreemoja, ja muutenkin täysin järkyttäviä informaatiomittoja, tyyliin lähes mielivaltaisen "innovaation" per aikayksikkö, tietyn aaltomuodon määrittelyssä ja käsittelyssä.
Ehkä järkyttävin tulos tästä puusta on, että teoreettisesti kaistarajatun signaalin täyteen määrittelyyn missään n annetussa pisteessä ajassa ei tarvita mitään muuta kuin että signaali näytteistetään missä vain muussa n pisteessä täydellisesti, ja n:n ylittävät vapausasteet ongelmassa oletetaan pois. Näytteistysväli voi olla vaikkapa mikä vain mielivaltaisen lyhyt suljettu väli reaaliakselilla, kuten [0,1] tai vaikka sitten [0,1/googolplex], ihan sama—numeerisesti tuo on tietysti täysin mahdoton ongelma, mutta teoreettisesti noin kuitenkin, aina.
FTN-signaloinnissa me tuotetaan kaistarajattuja impulsseja nopeammin kuin Nyquist-raja konventionaalisesti sallisi dekoodattavan. Tuo teoria on sinänsä ihan hyvin toteennäytetty: se ei riko mitään informaatioteoreettisia rajoja, se on ainakin so-so-dekoodattavissa, sen energia pysyy hallinnassa, ja se vain sotkee pohjimmiltaan viereiset kommunikaatiokanavalla yhteen, niin että tarvitaan rajumpaa dekoodausta ennen kuin juokseva kokonaissymbolijono saadaan eroteltua osikseen. Se myös lähtee varsin kiintoisasta ja totisesta minimietäisyysanalyysista, jonka jälleen on täysin todistettu johtavan lähemmäs Shannonin epäkonstruktiivista kapasiteettirajaa kuin useimmat konventionaaliset Nyquist-analyysiin pohjautuvat koodit (se voidaan katsoa eräänlaiseksi koodaus–modulaatio -yhdistelmämenetelmäksi). Siitä on nykyään jopa toimivia prototyyppejä, ja sitä mietitään osaksi 5G-järjestelmiä, ilmiselvän taajuustehokkuutensa tähden. So far so good.
Mutta mä olen silti aika varma että sillä on noiden kaistarajattujen funktioiden jäykkyyden tähden aika helpostikin osoitettavissa oleva heikkous: se ei voi olla yhtä lokaali kuin ortogonaalikoodaus parhaimmillaan on. Intuitio sanoisi, että se minkä pakkaat tiuhempaan tässä ja nyt, sanelee pahimmillaan sun tarkkailuvälin ulkopuolella jotain mitä et halua tapahtuvan.
Itse analysoisin näitä myös konventionaalisen impulssikannan suhteen, koska siitä tiedetään että se on viimeistään heikossa topologiassa suora (paikallinen) isometria jatkuvan puolen kaistarajattujen funktioiden ja kriittisesti sekä tasavälisesti näytteistettyjen diskreettien funktioiden välillä; tuo isomorfismi ei jätä mitään vapausasteisiin liittyviä tulkintoja järin epämääräisiksi, varsinkaan LTI-oletuksen jälkeen.
Vaikka tämä ei nyt ihan kuulukaan tähän, kuuluu se silti… Nimittäin, on tunnettua että tuo kaistarajattujen näytteistettyjen funktioiden palautus jatkuvaan piiriin johtaa ainakin yhteen todella iljettävään, epälokaaliin ilmiöön: siihen että näytteiden välissä voi tapahtua aivan mitä vain vaihekoherenssin tähden. Karsein (minimi)esimerkki lienee ääretön näytteistetty jono …-1,1,-1,1
Molempia signaaleja käytetään yleisesti D/A-muuntimien testauksessa idioottitesteinä, ja usein ne rikkovat sitten myös naiivit muuntimet, tavalla tai toisella. Yksi sun toinen kehittyneempikin sigma–delta-muunnin menee johonkin limit cycleen ekasta, ja joutuu toipumaan siitä ad hoc -keinoin sitten. Jotkin suodattimet jossain historiassa tuo signaali on jopa käräyttänyt suorilta.
Noh, koska ne kaistarajatut signaalit on niin jäykkiä, ja kun nyt selvästi on niin että FTN-raami injektoi lisää vapausasteita jopa perinteisen näytteistysintervallin sisälle—mitä me voitais kenties sanoa siitä miten sen määräämä signaali käyttäytyy jossain kauempana eikä vain perinteisten näytteiden välissä? Ennen kaikkea, voitaisiinko me rakentaa adversariaalinen koodisana, joka sen koodatun signaalin välttämättömän, kaistarajatun jäykkyyden kautta pakottaa sen signaalin käyttäytymään ikävästi, normaalianalyysin käsittelemän arvoalueen ulkopuolella?
Olen aika varma että noin voitaisiin tehdä, ja vielä systemaattisesti. Meinaan as per compressive sensing -kirjallisuus ja kaikki toi epätasaväliseen näytteistykseen liittyvä kirjallisuus, me voidaan lähes täysin vapaasti valita missä me samplataan asioita vaikka normaaliraamin näytteiden välissä. Eli otetaas sitten käyttöön ensin normaaliraami jossa me mitataan kaikki (koska se kaunis isometria, jolle ei sovi väittää vastaan, ja johon Shannonkin perustaa kaavansa). Otetaan blokki FTN-kamaa joka tuottaa kohtuuttomasti vapausasteita suhteessa Nyquist-rajaan. Oletetaan sen oletukset, jotka toivottavasti myös sisältää jonkin todistuksen siitä että kaikki FTN-symboliblokit häipyvät ajassa asymptoottisesti eksponentiaalisesti kuten standardiblokitkin, niin että niitä voidaan käsitellä ajallisesti lokaaleina (en usko että tuota todistusta on missään, ja aion hyökätä juuri sitä vastaan).
Sitten rakennellaan lineaarisia täyden rankin yhtälöryhmiä, jotka ovat mahdollisimman ikäviä. Jos FTN tuottaa vaikkapa tasaiset 10% lisää pulsseja ajassa kuin kriittinen Nyquist-raami, kysytään heti mikä on se kamalin juttu mitä tuosta voisi seurata seuraavalle näytteelle standardiraamissa? Voimmeko kenties optimoida asiat niin, että kun FTN-raami syöttää liikaa informaatiota ja fiksaa liian monta jäykän moduloidun funktion pistettä jo etukäteen, yhtäkkiä valitsemalla oikein syöte tuolle FTN-raamille johtaisikin siihen että koodausblokin (tai juoksevan ikkunan) ulkopuolinen arvo voitaisiinkin sitoa epämiellyttäväksi, alhaaltapäin?
Hauskin juttu tietysti olisi kasvavassa blokkikoossa FTN-signalointi, joka väkisin johtaa eksponentiaaliseen kasvuun blokin ulkopuolella, vapausaste-per-vapausaste. Mikä juuri ja juuri voisi tapahtua, jopa niin että se olisi osoitettavissa oikein valituilla signaaleilla suorasta matriisialgebrasta, per blokki.
Olen melko varma että noin tapahtuu. En osaa tehdä tätä analyysia ollenkaan oikein, mutta luulen että tuo on se kohta jossa FTN:n on pakko vihdoin näyttää "seamy undersidensä". Eikä tuo tietty tarkoita, etteikö se silti voisi olla hyödyllinen ja jopa vallankumouksellinen kommunikaatiossa. Mutta jos mun intuitio on oikeassa, ei se kyllä sitten juuri muuta ole kuin taas yksi varsin epäsystemaattinen tapa lähestyä Shannon-rajaa, eikä todellakaan niin helposti analysoitava kuin standardiraami Nyquist-pulsseineen. Ihan verrattavissa Ungerboeckin TCM-tavaraan, eli ihan siistii ja tehokasta, mutta ei kyllä mitään fundamentaalisesti maatakaatavaa ja ongelmat tyhjentävää informaatio- tai koodausteoriaa—akolyyttiensa puheensävystä riippumatta.
No comments:
Post a Comment